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lunes, 4 de agosto de 2014

Principio del palomar

El Principio del palomar o principio de las cajas se le atribuye al matemático alemán Johan Peter Gustav Lejeune Dirichlet 18051859.

Principio del palomar
Si se reparten n palomas en m palomares y n>m, entonces algún palomar tendrá más de una paloma.

Si tenemos m palomares, en cada palomar podemos albergar una paloma. Como el número de palomas es n>m entonces como mínimo tenemos m+1 palomas. Las m primeras las hemos colocado cada una en un palomar distinto, por lo que nos sobraría una paloma que tendremos que alojarla en uno de los m palomares. Como consecuencia algún palomar tendrá más de una paloma. 

Para el caso en que tengamos m=5 palomares y n=6 palomas.

  
Las primeras 5 palomas entran cada una es un palomar y la sexta la tendríamos que colocar en uno de los 5 palomares, así habría un palomar con 2 palomas. Si el palomar en el que metemos las 2 palomas es el último la distribución quedaría así.


Principio del palomar generalizado
Sean m,n,p números naturales tales que n>m. Si queremos colocar np+m palomas en n cajas entonces alguna de las cajas debe contener al menos p+1 palomas.

Este resultado es muy parecido al anterior. Si colocamos p palomas en cada caja, en total hemos colocado np palomas. Como np<np+1np+m tenemos que todavía nos sobra alguna paloma por colocar. Como cada caja tiene p palomas, la caja en la que metamos la siguiente paloma ya tiene p+1 palomas, que es lo que dice el enunciado.

Ejemplos en los que se utiliza el principio del palomar.

Problema de los calcetines
Supongamos que se apagan los fusibles de nuestra casa y tenemos que sacar a oscuras unos calcetines de un cajón. Si en el cajón tenemos 6 calcetines rojos, 6 azules, 6 blancos y 6 verdes, ¿cuántos calcetines debemos sacar como mínimo para asegurarnos que hemos sacado 2 calcetines del mismo color? ¿Y si te acompaña tu hermano y quiere otro par?

Solución:
  1.  Si sacamos 2 calcetines no estamos seguros que los 2 sean del mismo color, por ejemplo: podemos haber sacado uno rojo y otro azul. Si sacamos 3 calcetines tampoco podemos estar seguros de tener 2 del mismo color, por ejemplo: podemos haber sacado uno rojo, otro azul y otro blanco. Si sacamos 4 calcetines tampoco es seguro que tengamos 2 del mismo color ya que podrían ser los 4 calcetines de colores distintos, es decir, rojo, azul, blanco y verde, aunque no tienen porque salir en este orden. Al sacar 5 calcetines estamos ya completamente seguros de que habrá 2 calcetines del mismo color ya que solo tenemos 4 colores.
  2. Si tenemos que sacar 2 pares, partimos del caso anterior en el cual obtuvimos el mínimo número de calcetines que se tienen que sacar para tener un par. Si sacamos 6 calcetines, el peor de los casos es que saquemos un calcetín del mismo color que el par, es decir, 3 calcetines del mismo color y otros 3 cada uno distinto entre sí. Así, tendríamos un par y 4 calcetines de colores distintos, y por tanto si sacamos un calcetín más obtenemos otro par de calcetines. Luego tenemos que sacar 7 calcetines para asegurarnos que tendremos 2 pares.
Problema de los amigos
En cualquier grupo de 2 o más personas hay siempre 2 de ellas que tienen el mismo número de amigos dentro del grupo.

Solución:

Supondremos que ninguna persona es amiga de sí misma. Supondremos también que el número de personas de dicho grupo es m2, es decir, en el grupo hay al menos 2 personas.

Podemos observar:
  1. Una persona del grupo puede tener como máximo m1 amigos dentro del grupo, es decir, puede tener 0,...,m1 amigos.
  2. Si una persona es amigo de todos los demás, entonces no existe ninguna persona en el grupo que no sea amigo de alguna otra persona, y viceversa, si una persona no tiene amigos en el grupo, entonces no existe ninguna persona que sea amigo de todos.
Llamaremos X al conjunto de las personas del grupo, e Y al conjunto formado por el número de amigos que puede tener una persona, luego Y={0,...,m1}. Por último, consideraremos f:XY la aplicación que le asocia a cada persona del grupo el número de amigos que posee.

Nota: De la observación 2 sabemos que en el conjunto Y no pueden aparecer los números 0 y m1, es decir, no puede haber a la vez en el grupo una persona que sea amiga de todos y otra que no sea amiga de ninguno.

Por tanto tenemos 2 casos:

Caso1: Si no existe ninguna persona que sea amiga de todos. En este caso el conjunto formado por el número de amigos que puede tener una persona es Y1={0,...,m2}. El número de elementos en el conjunto Y1 es m1. A este número se le denomina cardinal del conjunto Y1.

Caso2: Si no existe ninguna persona que no tenga amigos en el grupo. En este caso el conjunto formado por el número de amigos que puede tener una persona es Y2={1,...,m1}. El número de elementos en el conjunto Y2 es también m1.

Por un lado tenemos que el número de personas que hay en el grupo es m y por otro lado que en cada caso tenemos como máximo m1 personas que tienen diferente número de amigos. Luego por el principio del palomar, como m>m1 entonces existen 2 personas que tienen el mismo número de amigos.

Si os ha gustado esto, os propongo el siguiente problema:

Problema propuesto
Comprobad que en cualquier conjunto de 6 personas siempre hay 3 que se conocen entre sí o 3 que no se conocen.

@antonio_arjona7

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