Principio del palomar
Si se reparten n palomas en m palomares y n>m, entonces algún palomar tendrá más de una paloma.
Si tenemos m palomares, en cada palomar podemos albergar una paloma. Como el número de palomas es n>m entonces como mínimo tenemos m+1 palomas. Las m primeras las hemos colocado cada una en un palomar distinto, por lo que nos sobraría una paloma que tendremos que alojarla en uno de los m palomares. Como consecuencia algún palomar tendrá más de una paloma.
Para el caso en que tengamos m=5 palomares y n=6 palomas.
Las primeras 5 palomas entran cada una es un palomar y la sexta la tendríamos que colocar en uno de los 5 palomares, así habría un palomar con 2 palomas. Si el palomar en el que metemos las 2 palomas es el último la distribución quedaría así.
Principio del palomar generalizado
Sean m,n,p números naturales tales que n>m. Si queremos colocar n⋅p+m palomas en n cajas entonces alguna de las cajas debe contener al menos p+1 palomas.
Este resultado es muy parecido al anterior. Si colocamos p palomas en cada caja, en total hemos colocado n⋅p palomas. Como n⋅p<n⋅p+1≤n⋅p+m tenemos que todavía nos sobra alguna paloma por colocar. Como cada caja tiene p palomas, la caja en la que metamos la siguiente paloma ya tiene p+1 palomas, que es lo que dice el enunciado.
Ejemplos en los que se utiliza el principio del palomar.
Problema de los calcetines
Supongamos que se apagan los fusibles de nuestra casa y tenemos que sacar a oscuras unos calcetines de un cajón. Si en el cajón tenemos 6 calcetines rojos, 6 azules, 6 blancos y 6 verdes, ¿cuántos calcetines debemos sacar como mínimo para asegurarnos que hemos sacado 2 calcetines del mismo color? ¿Y si te acompaña tu hermano y quiere otro par?
Solución:
Por un lado tenemos que el número de personas que hay en el grupo es m y por otro lado que en cada caso tenemos como máximo m−1 personas que tienen diferente número de amigos. Luego por el principio del palomar, como m>m−1 entonces existen 2 personas que tienen el mismo número de amigos.
- Si sacamos 2 calcetines no estamos seguros que los 2 sean del mismo color, por ejemplo: podemos haber sacado uno rojo y otro azul. Si sacamos 3 calcetines tampoco podemos estar seguros de tener 2 del mismo color, por ejemplo: podemos haber sacado uno rojo, otro azul y otro blanco. Si sacamos 4 calcetines tampoco es seguro que tengamos 2 del mismo color ya que podrían ser los 4 calcetines de colores distintos, es decir, rojo, azul, blanco y verde, aunque no tienen porque salir en este orden. Al sacar 5 calcetines estamos ya completamente seguros de que habrá 2 calcetines del mismo color ya que solo tenemos 4 colores.
- Si tenemos que sacar 2 pares, partimos del caso anterior en el cual obtuvimos el mínimo número de calcetines que se tienen que sacar para tener un par. Si sacamos 6 calcetines, el peor de los casos es que saquemos un calcetín del mismo color que el par, es decir, 3 calcetines del mismo color y otros 3 cada uno distinto entre sí. Así, tendríamos un par y 4 calcetines de colores distintos, y por tanto si sacamos un calcetín más obtenemos otro par de calcetines. Luego tenemos que sacar 7 calcetines para asegurarnos que tendremos 2 pares.
Problema de los amigos
En cualquier grupo de 2 o más personas hay siempre 2 de ellas que tienen el mismo número de amigos dentro del grupo.
Solución:
Supondremos que ninguna persona es amiga de sí misma. Supondremos también que el número de personas de dicho grupo es m≥2, es decir, en el grupo hay al menos 2 personas.
Podemos observar:
- Una persona del grupo puede tener como máximo m−1 amigos dentro del grupo, es decir, puede tener 0,...,m−1 amigos.
- Si una persona es amigo de todos los demás, entonces no existe ninguna persona en el grupo que no sea amigo de alguna otra persona, y viceversa, si una persona no tiene amigos en el grupo, entonces no existe ninguna persona que sea amigo de todos.
Llamaremos X al conjunto de las personas del grupo, e Y al conjunto formado por el número de amigos que puede tener una persona, luego Y={0,...,m−1}. Por último, consideraremos f:X⟶Y la aplicación que le asocia a cada persona del grupo el número de amigos que posee.
Nota: De la observación 2 sabemos que en el conjunto Y no pueden aparecer los números 0 y m−1, es decir, no puede haber a la vez en el grupo una persona que sea amiga de todos y otra que no sea amiga de ninguno.
Por tanto tenemos 2 casos:
Caso1: Si no existe ninguna persona que sea amiga de todos. En este caso el conjunto formado por el número de amigos que puede tener una persona es Y1={0,...,m−2}. El número de elementos en el conjunto Y1 es m−1. A este número se le denomina cardinal del conjunto Y1.
Caso2: Si no existe ninguna persona que no tenga amigos en el grupo. En este caso el conjunto formado por el número de amigos que puede tener una persona es Y2={1,...,m−1}. El número de elementos en el conjunto Y2 es también m−1.
Por un lado tenemos que el número de personas que hay en el grupo es m y por otro lado que en cada caso tenemos como máximo m−1 personas que tienen diferente número de amigos. Luego por el principio del palomar, como m>m−1 entonces existen 2 personas que tienen el mismo número de amigos.
Si os ha gustado esto, os propongo el siguiente problema:
Problema propuesto
Comprobad que en cualquier conjunto de 6 personas siempre hay 3 que se conocen entre sí o 3 que no se conocen.
@antonio_arjona7
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