El 12345679 y la escalera numérica

En este post veremos 2 curiosidades numéricas. La primera consistirá en elevar al cuadrado números cuyas cifras son únicamente unos. En la segunda veremos una propiedad curiosa sobre el número 12345679 al multiplicarlo por múltiplos de 9.

La escalera numérica

Cuando multiplicamos un número cuyas cifras son únicamente 1's por sí mismo obtenemos un número cuyas cifras son números consecutivos, en primer lugar en orden ascendente y posteriormente en orden descendiente. Veremos unos ejemplos para que quede más claro.

1 * 1 = 1

11 * 11 = 121

111 * 111 = 12321

1111 * 1111 = 1234321

11111 * 11111 = 123454321

111111 * 111111 = 12345654321

1111111 * 1111111 = 1234567654321

11111111 * 11111111 = 123456787654321

111111111 * 111111111 = 12345678987654321

      

Luego el cuadrado de un número formado por $n$ unos $(1...1$) tiene como cifras los números del $1...n$ en orden creciente y seguidamente desde $n-1...1$ de forma decreciente $(con\,\, salto \,\,1$), siendo $n\in \{1,...,9\}$.

1...1 * 1...1 = 12...n...21

La curiosidad del número 12345679

Cuando multiplicamos el número 12345679 por un múltiplo de 9 $(9*n$), siendo $n\in\{1,...,9\}$ obtenemos un número cuyas cifras son todas iguales. Veámoslo con ejemplos:

  12345679 * 9 = 111111111

12345679 * 18 = 222222222

12345679 * 27 = 333333333

12345679 * 36 = 444444444

12345679 * 45 = 555555555

12345679 * 54 = 666666666

12345679 * 63 = 777777777

12345679 * 72 = 888888888

12345679 * 81 = 999999999

Nota: Se observa que el 8 no se encuentra en el número 12345679.

En realidad solo bastaba ver que 12345679 * 9 es igual a 111111111. Ya que 18 = 9 * 2; 27 = 9 * 3;  36 = 9 * 4; 45 = 9 * 5; ... y por tanto la multiplicación consiste en escribir 9 veces el número que multiplica al 9.

@antonio_arjona7