Fórmula de Euler para poliedros

Leonhard Euler, el cual aparece en la foto de la derecha, fue un matemático y físico suizo del siglo XVIII. Es el matemático más famoso del siglo XVIII y unos de los matemáticos más importantes de toda la historia. Es conocido por sus trabajos en el análisis matemático y la teoría de grafos. A causa de su dedicación extrema en su trabajo perdió la visión del ojo derecho, aunque esto no le afectó a la calidad ni a la cantidad de publicaciones. 

        

Antes de nada es necesario conocer que un poliedro es un cuerpo geométrico de 3 dimensiones cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. Los segmentos que unen dichas caras se denominan aristas y los puntos donde se cortan las aristas se denominan vértices.

Los poliedros que nos interesarán serán los poliedros convexos, que son poliedros en los que para cualquier par de puntos dentro, el segmento que los une también lo está. Por ejemplo, una caja de pastillas.

Un poliedro regular es un poliedro convexo en el que sus caras son polígonos que tienen todos sus ángulos y lados iguales, y en cada vértice coinciden el mismo número de caras. Por otro lado un poliedro irregular es que no es regular. En la siguiente imagen mostraremos los 5 únicos poliedros regulares. 

Como ejemplos de poliedros irregulares podemos mencionar los prismas excepto el cubo, las pirámides, etc.

Sea $V = número\,\, de\,\, vértices$, $A= número\,\, de \,\,aristas$ y $C=número \,\, de \,\,caras$.

Fórmula de Euler para poliedros.

En un poliedro convexo se cumple:

V + C = A + 2

En la siguiente figura comprobamos la Fórmula de Euler para los poliedros regulares.

Cuando realizamos cortes a cualquier poliedro regular obtendremos un poliedro irregular que también es convexo y por tanto se mantiene la fórmula de Euler. Para los poliedros irregulares como prismas, pirámides y otros también se cumple dicha fórmula. Tomando por ejemplo una pirámide cuya base es un cuadrado, se tiene que el número de vértices es V=5, el de aristas es A=8 y el de caras es C=5. Por lo tanto 

5 + 5 = 8 + 2 

Nota: Para la construcción de los poliedros regulares se ha usado el juego Geomag, que tiene bolas y palitos con imanes. Así es mucho más fácil hacerlo. 

¿Qué ocurre si no tenemos ningún juego parecido?
Lo que ocurre es que no tenemos excusa para dejar de hacer estas preciosas construcciones. Os daré alguna idea. Podéis usar palillos de dientes y aceitunas o algunas gominolas con forma redonda.

Como recompensa os la podéis comer. Bueno los palillos de dientes no, pero seguro que se os ocurre alguna forma de sustituirlos. OJO, antes de coméroslas podéis hacerle alguna foto para compartirla con los demás. Además, si queréis me las podéis mandar a mi correo matesrye@gmail.com para que las introduzca en el artículo y así quién las vea posteriormente le entrará un poco más el gusanillo.

@antonio_arjona7