El dilema del cocodrilo. Paradojas

Si estás interesado en este problema puedes ver el vídeo que aparece al final de esta entrada. También he dejado aquí el texto que se explica en el vídeo.

El dilema del cocodrilo trata sobre un niño que estaba jugando en la orilla del río Nilo y fue capturado por un cocodrilo. La madre al ver lo sucedido le pidió al cocodrilo que le devolviera a su niño. El cocodrilo, aunque tenía mucha hambre, le quiso dar una oportunidad a la madre, que ya lloraba desconsolada como si supiera el fin que iba a tener su hijo, y le dijo que si adivinaba lo que iba a hacer con su hijo se lo devolvería sano y salvo, pero si no, se lo comería de un bocado.

Pregunta: Si fueras tú la madre ¿Qué dirías? 

Antes de ver lo que sucedió puedes intentar pensar cómo resolver dicho problema. Piensa que está en juego la vida de tu hijo. 

Continuación:

¡¡Te vas a comer a mi hijo!! Dijo la madre con un tono de desesperación ante lo ocurrido.

El cocodrilo se encontraba feliz ya que con esa afirmación tenía que comerse al niño, porque si le devolviera el niño a su madre, ella se habría equivocado al afirmar que el cocodrilo se iba a comer a su hijo.

¡¡Para el carro!! — Respondió la madre — Si te comes a mi hijo entonces habré acertado y me dijiste que si acertaba me lo devolverías sin ningún rasguño. ¡Tienes que cumplir tu palabra y devolvérmelo!

El cocodrilo, atónito no sabía que hacer: por un lado tenía que comerse al niño y por el otro tenía que dejarlo marchar.

Así que el cocodrilo se metió en un bucle infinito, y cansado de tanto pensar, dejó escapar al niño. La madre inmediatamente lo agarró del brazo y huyó sin mirar atrás.

El cocodrilo se quedó lamentándose ya que si la madre le hubiera dicho que le devolviera a su niño podría haber hecho lo que quisiera, es decir, o soltarlo o comérselo y está claro cuál es la opción que hubiera elegido ¿No?

El dilema del cocodrilo

@antonio_arjona7

Paradoja del mentiroso, frases autorreferentes y otras paradojas

Una paradoja es una idea extraña o irracional que se opone al sentido común y a la opinión general. Podemos distinguir 4 tipos:

1. Afirmaciones que parecen falsas pero que en realidad son verdaderas.
2. Afirmaciones que parecen verdaderas pero que en realidad son falsas.
3. Conjunto de razonamientos que aparentemente son verdaderos aunque conducen a contradicciones lógicas (falacias).
4. Afirmaciones que no podemos decidir si son verdad o son falsas.

La paradoja del mentiroso

Existen muchas versiones de dicha paradoja pero aquí solo daremos su versión más sencilla.

Esta frase es falsa.

¿Es verdadera o falsa dicha oración? Supongamos que es verdadera, entonces la oración debe ser falsa, tal y como afirma la oración y por tanto llegamos a una contradicción. Como la oración no es verdadera ¿entonces es falsa? Suponiendo que la oración es falsa tenemos que lo que afirma es falso y por tanto esta frase es verdadera, con lo cual llegamos a otra contradicción. Así la frase no puede ser ni verdadera ni falsa, con lo cual no se puede asignar un valor de verdad a la oración sin que se llegue a contradecir.   

Frases autorreferentes

Esta frase tiene treinta y cinco letras.

Si esta oración fuera verdadera debería de tener 35 letras pero como solo tiene 33 hemos llegado a una contradicción. Como la oración no es verdadera, ¿entonces es falsa? Si es falsa entonces esta frase no tiene treinta y cinco letras pero en realidad la frase si consta de 35 letras, luego es verdadera y por tanto tenemos una contradicción.

Así que la frase no es ni verdadera ni falsa.

¿En las tiendas se fia?

Hoy no se fia, mañana sí.

Si vamos a una tienda y leemos el cartel Hoy no se fia, mañana sí, revisa tus bolsillos porque no te vas a poder ir sin pagar. ¿Pero al día siguiente se fia? Cuando vas al día siguiente creyendo que si se fia, te das cuenta que el letrero vuelve a poner  "hoy no se fia, mañana sí", luego en realidad no te fian ni el primer día ni el segundo ni nunca. Entonces aunque la frase parece verdadera en realidad es falsa.

La paradoja del mentiroso con 2 amigos

Juan: Lo siguiente que diga Pedro será falso.

Pedro: Juan ha dicho la verdad.

Supongamos que Juan dice la verdad, entonces lo que diga Pedro será falso. Como Pedro miente entonces Juan no ha dicho la verdad, es decir, Juan miente, lo cual contradice a la hipótesis de partida. Como Juan no dice la verdad ¿entonces miente? Si Juan miente entonces lo que diga Pedro será verdadero. Como Pedro dice la verdad entonces Juan ha dicho la verdad y por tanto llegamos a una contradicción ya que hemos supuesto que Juan miente.  

Como conclusión la frase no es ni verdadera ni falsa.

Si os ha gustado estas paradojas os recomiendo estas otras:

1. La paradoja de Zenón ¿Eres capaz de alcanzar a una tortuga que parte con ventaja?
2. El hotel de Hilbert

                                                                                                                   @antonio_arjona7

¿Eres capaz de alcanzar a una tortuga que parte con ventaja? La paradoja de Zenón

Zenón de Elea fue un filósofo griego nacido en Elea entre los años 490 y 430 a. C. Es autor de la paradoja que lleva su nombre. Sin embargo, ésta no es una paradoja sino más bien un método para obtener la fórmula que determina el valor de las series geométricas. Una serie geométrica es una suma de infinitos términos cuyo primer término es un número real $a$ y cada término posterior se obtiene del anterior multiplicado por una cierta razón $r\in\mathbb{R}$ $$a_n=r \cdot a_{n-1}\quad  \forall\,n\in\mathbb{N}$$ Así una serie geométrica $$ \sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n= a + r \cdot a + r^2 \cdot a + r^3 \cdot a + \dots $$

Aquiles y la tortuga

Una tortuga desafía al famoso corredor Aquiles a una carrera y afirma que si Aquiles le deja algo de ventaja nunca podrá alcanzarla.

Supongamos que la tortuga parte con 10 metros de ventaja y que Aquiles es 10 veces más rápido que la tortuga. Mientras Aquiles recorre los 10 metros la tortuga ha avanzado un metro. Cuando Aquiles recorre 1 metro la tortuga ha avanzado $\frac{1}{10}$ metros. Posteriormente cuando Aquiles recorre $\frac{1}{10}$ metros la tortuga ha avanzado $\frac{1}{100}$ metros y así sucesivamente. 

Figura 1: Distancia recorrida por Aquiles y la tortuga.

Como se observa en las figuras 1 y 2 la distancia entre Aquiles y la tortuga tiende a empequeñecerse cada vez más aunque siempre existe dicha distancia entre ellos.

Figura 2: Distancia total recorrida por Aquiles y la tortuga.

Luego para que Aquiles alcance a la tortuga debe recorrer 

$$ 10+\frac{10}{10}+ \frac{10}{100}+ \frac{10}{1000}+\frac{10}{10000}+\dots \,\,metros$$

y como esta es una suma infinita entonces Zenón razona que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Por intuición sabemos que Aquiles alcanzará a la tortuga en un tiempo $t$. Supondremos ahora que la velocidad de la tortuga es de $1\,\, m/s$ y como hemos dicho anteriormente que la velocidad de Aquiles es 10 veces mayor que la de la tortuga, la velocidad de Aquiles será $10\,\, m/s$. 

Para que Aquiles alcance a la tortuga en dicho tiempo es necesario que recorra 10 metros más que la tortuga, es decir 

$$ v \cdot t = 10 \,\,metros + \frac{1}{10}\cdot v \cdot t  $$

donde $v=10\,\,m/s$ es la velocidad de Aquiles y $\frac{1}{10}\cdot v=\frac{1}{10}\cdot 10=1\,m/s$ es la velocidad de la tortuga. Despejando tenemos 

$$   t = \frac{10}{v\cdot (1-\frac{1}{10})}=\frac{10}{9}=1'1111\dots segundos $$

Así, para que Aquiles alcance a la tortuga debe recorrer 

$$ v \cdot t = 10 \,m/s \cdot 1'1111\dots s= 11'1111\dots \,\,metros$$

Lo que Zenón nos quiere explicar es que nunca vamos a poder calcular el lugar exacto en el que se encontrarán, ya que es un número con infinitos decimales $11'1111\dots$.  Sin embargo, hemos visto que cuando pasa algo más de un segundo Aquiles ya ha pasado a la tortuga, de hecho en el segundo $1'1111\dots$ la alcanzará. Esto es posible porque la suma infinita da un valor finito. 

$$ \sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n= \frac{a}{1-r} $$

Este razonamiento se cumple cuando $ |r|<1$. En nuestro caso $r=\dfrac{1}{10}<1$ y $a=10$.

Como consecuencia la paradoja de Zenón da el valor de la serie geométrica.

Este razonamiento se puede generalizar tomando $a$ una distancia positiva cualquiera, $v$ la velocidad de Aquiles y $0<r<1$ la relación que existe entre la velocidad de la tortuga $v_T$ y la velocidad de Aquiles $v_A$, es decir, $$r=\frac{v_T}{v_A}$$ y se puede ver en el siguiente vídeo.

                                                                     @antonio_arjona7

El hotel de Hilbert

¿Estas cansado de escuchar que el hotel que buscas para las vacaciones tiene overbooking? ¿No encuentras hotel en la fecha en la que estamos?
¡No te preocupes y ven al Hotel de Hilbert! El lugar donde siempre hay alojamiento para uno más. Y quien dice uno, dice todos los que hagan falta.

Imágen sacada de: tras la cola de la rata

El Hotel de Hilbert piensa en ti, por ello cuenta con infinitas habitaciones para que tú, tu familia y/o tus amigos podáis tener unas vacaciones a la altura.

¿Cómo puede ser que después de llenarse el hotel pueda el recepcionista alojar a más personas?

La respuesta es sencilla, basta conocer un poco de matemáticas y el comportamiento del infinito.

Ahora veremos como resuelve el recepcionista del Hotel de Hilbert el problema del alojamiento.

En primer lugar tenemos que decir que todo cliente cuando reserva su habitación en este hotel adquiere el compromiso de tener que cambiarse de habitación cuando el recepcionista lo crea conveniente. Como dato informativo, las habitaciones están ordenadas de forma creciente empezando por la habitación número 1.

Te informamos de antemano que el hotel ya está completo pero tiene un recepcionista muy eficiente, y garantiza alojamiento para cuantas personas lleguen. Dependiendo de cuantas personas te acompañen el recepcionista deberá realizar algunos cambios en la distribución de las habitaciones. Por ello, consideraremos varios casos:

• Si quieres descansar sólo o vienes acompañado de algunos amigos solo tienes que decirle al recepcionista cuantas habitaciones necesitas. Supongamos que necesitas 3 habitaciones. El recepcionista para encontraros una habitación disponible le dirá a sus clientes que miren el número de habitación que tienen y le sumen 3, obteniendo así el número de habitación al que se tendrán que desplazar.                                                   

                                                 Habitaciones              Habitaciones 

                                                 antiguas de                nuevas de

                                                 los clientes                 los clientes

          Así, el recepcionista habría dejado libre las 3 primeras habitaciones para que tú y tus amigos os podáis alojar.     

          Nota: No hay últimas habitaciones. Por eso podemos siempre desplazar a los clientes a dichas habitaciones.

• Si eres organizador de excursiones y vienes con un grupo infinito. El recepcionista les dirá a sus clientes que multipliquen por 2 el número de su habitación y se desplacen a ella, ocupando así las habitaciones pares y dejando libres las impares para el nuevo grupo de turistas.

                                                 Habitaciones              Habitaciones 

                                                 antiguas de                nuevas de

                                                 los clientes                 los clientes

• Si eres organizador de excursiones y has organizado infinitas excursiones con infinitos turistas cada una, ¡también se os puede hacer un hueco en este hotel! Para ello el recepcionista debe comunicarle a sus clientes que si su número de habitación es un número primo o alguna potencia de un número primo entonces deben elevar 2 al número de habitación y cambiarse a esa habitación. Los otros clientes deberán permanecer en sus habitaciones.

                                                 Habitaciones              Habitaciones 

                                                 antiguas de                nuevas de

                                                 los clientes                 los clientes

Por otro lado el recepcionista asignará un número primo $p$ distinto de 2 a cada excursión y un número impar $t$ a cada turista. Posteriormente cada turista deberá elevar al número de su excursión el número que le han asociado en dicha excursión, así un turista $t$ en una excursión $p$ le corresponderá la habitación $p^t$.                                   

Como el conjunto de los números impares y el de los números primos distintos de 2 son infinitos entonces se puede alojar infinitos grupos de infinitos huéspedes dentro de un hotel con únicamente infinitas habitaciones.

Observación: Hemos dejado habitaciones libres por si nos llegara otras infinitas excursiones con infinitos turistas cada una. Las habitaciones son aquellas cuyo número es $p^{2n}$ donde $p$ es un número primo distinto de 2 y $n$ un número natural. Así, bastaría asociar un número $p$ distinto de 2 a cada excursión y un número par $2n$ a cada turista.  

Nota: Un número primo es un número entero $p>1$ que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

¿Te atreves a vivir esta experiencia?

PD: Aunque no exista un Hotel en la Tierra tan acogedor como éste, eso no te impide viajar a él con tu imaginación.

Se puede consultar wikipedia para ver esta paradoja http://es.wikipedia.org/wiki/El_hotel_infinito_de_Hilbert
Además, podemos ver el siguiente vídeo del Hotel de Hilbert donde se explica esto con dibujos.

Para saber más, aquí tienes otras paradojas:

1. ¿Eres capaz de alcanzar a una tortuga que parte con ventaja? La paradoja de Zenón.
2. La paradoja del mentiroso, frases autorreferentes y otras paradojas.
3. El dilema del cocodrilo. Paradojas.

                                                          @antonio_arjona7