¿Eres capaz de alcanzar a una tortuga que parte con ventaja? La paradoja de Zenón

Zenón de Elea fue un filósofo griego nacido en Elea entre los años 490 y 430 a. C. Es autor de la paradoja que lleva su nombre. Sin embargo, ésta no es una paradoja sino más bien un método para obtener la fórmula que determina el valor de las series geométricas. Una serie geométrica es una suma de infinitos términos cuyo primer término es un número real $a$ y cada término posterior se obtiene del anterior multiplicado por una cierta razón $r\in\mathbb{R}$ $$a_n=r \cdot a_{n-1}\quad  \forall\,n\in\mathbb{N}$$ Así una serie geométrica $$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n= a + r \cdot a + r^2 \cdot a + r^3 \cdot a + \dots$$

Aquiles y la tortuga

Una tortuga desafía al famoso corredor Aquiles a una carrera y afirma que si Aquiles le deja algo de ventaja nunca podrá alcanzarla.

Supongamos que la tortuga parte con 10 metros de ventaja y que Aquiles es 10 veces más rápido que la tortuga. Mientras Aquiles recorre los 10 metros la tortuga ha avanzado un metro. Cuando Aquiles recorre 1 metro la tortuga ha avanzado $\frac{1}{10}$ metros. Posteriormente cuando Aquiles recorre $\frac{1}{10}$ metros la tortuga ha avanzado $\frac{1}{100}$ metros y así sucesivamente. 

Figura 1: Distancia recorrida por Aquiles y la tortuga.

Como se observa en las figuras 1 y 2 la distancia entre Aquiles y la tortuga tiende a empequeñecerse cada vez más aunque siempre existe dicha distancia entre ellos.

Figura 2: Distancia total recorrida por Aquiles y la tortuga.

Luego para que Aquiles alcance a la tortuga debe recorrer 

$$10+\frac{10}{10}+ \frac{10}{100}+ \frac{10}{1000}+\frac{10}{10000}+\dots \,\,metros$$

y como esta es una suma infinita entonces Zenón razona que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Por intuición sabemos que Aquiles alcanzará a la tortuga en un tiempo $t$. Supondremos ahora que la velocidad de la tortuga es de $1\,\, m/s$ y como hemos dicho anteriormente que la velocidad de Aquiles es 10 veces mayor que la de la tortuga, la velocidad de Aquiles será $10\,\, m/s$. 

Para que Aquiles alcance a la tortuga en dicho tiempo es necesario que recorra 10 metros más que la tortuga, es decir 

$$v \cdot t = 10 \,\,metros + \frac{1}{10}\cdot v \cdot t$$

donde $v=10\,\,m/s$ es la velocidad de Aquiles y $\frac{1}{10}\cdot v=\frac{1}{10}\cdot 10=1\,m/s$ es la velocidad de la tortuga. Despejando tenemos 

$$t = \frac{10}{v\cdot (1-\frac{1}{10})}=\frac{10}{9}=1'1111\dots segundos$$

Así, para que Aquiles alcance a la tortuga debe recorrer 

$$v \cdot t = 10 \,m/s \cdot 1'1111\dots s= 11'1111\dots \,\,metros$$

Lo que Zenón nos quiere explicar es que nunca vamos a poder calcular el lugar exacto en el que se encontrarán, ya que es un número con infinitos decimales $11'1111\dots$.  Sin embargo, hemos visto que cuando pasa algo más de un segundo Aquiles ya ha pasado a la tortuga, de hecho en el segundo $1'1111\dots$ la alcanzará. Esto es posible porque la suma infinita da un valor finito. 

$$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n= \frac{a}{1-r}$$

Este razonamiento se cumple cuando $|r|<1$. En nuestro caso $r=\dfrac{1}{10}<1$ y $a=10$.

Como consecuencia la paradoja de Zenón da el valor de la serie geométrica.

Este razonamiento se puede generalizar tomando $a$ una distancia positiva cualquiera, $v$ la velocidad de Aquiles y $0<r<1$ la relación que existe entre la velocidad de la tortuga $v_T$ y la velocidad de Aquiles $v_A$, es decir, $$r=\frac{v_T}{v_A}$$ y se puede ver en el siguiente vídeo.

                                                                     @antonio_arjona7