Tabla de derivadas

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Cabe destacar, que si u = x, entonces u' = 1 y por tanto podemos obtener una tabla de derivadas en x, haciendo los cambios anteriores.

@antonio_arjona7

¿Te imaginas la vida sin números?

Como ya he observado en gran parte de vosotros, muchos pensáis que las matemáticas no os van a servir en vuestra vida. ¿Pero es esto cierto?

Estamos a tiempo de cambiar esta percepción de las matemáticas como algo inaccesible y lejos de nuestro alcance. Tenemos que encontrar su utilidad y encontrar la relación que existe con nuestras vidas y con todo lo que nos rodea.

Hoy vamos a ver la importancia que tienen los números en nuestras vidas, pero...

¿Qué sería de nuestra vida sin números?

¡UN CAOOOOS!

¿Os imagináis un día sin números? ¿Cómo sería?

TAREA

Realiza un comentario con tu nombre en esta entrada en el que respondas a estas preguntas e indica 4 situaciones de la vida cotidiana en la que se utilicen los números.

Matemagiando con alumnos de secundaria

Esta entrada está basada en la comunicación "Matemagiando con alumnos de secundaria" que desarrollé junto con mis compañeros Juan Núñez Valdés, profesor del departamento de Geometría y topología de la Universidad de Sevilla, y Sandra Benítez Peña en un instituto de Sevilla capital.

Dicha experiencia tuvo como objetivo probar diferentes técnicas didácticas para motivar e interesar a los alumnos por las matemáticas. Para ello, además, hicimos uso de un juego de cartas.

A continuación pasaremos a describir dicha práctica:

Al desarrollar esta actividad en el aula preguntamos en primer lugar a los alumnos que cuánto es 2+2. Con pregunta generamos una “tormenta de ideas”. Se trata de una herramienta de trabajo grupal que facilita el surgimiento de nuevas ideas sobre un tema o problema determinado. La respuesta esperada por la mayoría de los alumnos es 4, a lo que nosotros responderemos que no siempre es así. Para intentar explicar que esto no siempre es verdad, actuaremos de la siguiente manera.

Les diremos a los alumnos que se imaginen que viajamos a otro planeta en el que el sistema horario no es el mismo que el de la Tierra. En este planeta sólo existen 4 horas, es decir, el reloj comienza en la hora 0 y las horas posteriores son la 1, 2 y 3. Cuando el reloj llega a las 4, ha pasado un día completo, luego nuestra hora serían las 0, y así seguiríamos sucesivamente: las 5 sería la 1, las 6 serían las 2… Véase la siguiente figura.

Figura 1. El reloj en el nuevo planeta

Una vez entendida esta idea pasaremos a realizar un truco de magia con cartas en el que se aplicará lo aprendido. Con la idea de fomentar el aprendizaje cooperativo dividimos la clase en 4 grupos. A cada grupo le indicamos que piensen un número de tres cifras no capicúa, es decir, un número cuya primera y tercera cifra no sean iguales. Los alumnos deberán apuntar dicho número que tendrán que elegir entre todos los componentes del grupo y después escribirlo al revés, es decir, cambiar la primera cifra del número por la tercera y al revés, manteniendo la segunda cifra en su posición central.

Después, con esos dos números, los alumnos restarán al mayor el menor, obteniendo así un tercer número. Les aclararemos que necesitamos que el resultado de esa diferencia sea un número de tres cifras, por lo que si su tercer número resultante de esa resta es de solo dos cifras, entonces tendrán que hacer que tenga tres cifras colocándole un 0 delante de sus dos cifras. A continuación, les pedimos a los alumnos que hagan con este tercer número lo mismo que hicieron con el primero, es decir, escribirlo al revés, obteniendo así un cuarto número, y finalmente, les solicitaremos a los alumnos que sumen estos dos últimos números y que guarden el resultado, sin que puedan verlo ninguno de sus otros compañeros que están en otros grupos realizando el mismo juego. Con este problema guiado estamos usando una técnica de descubrimiento: la solución de problemas. Dicha técnica pretende que el alumnado, a través del aprendizaje guiado, sea capaz de analizar los distintos factores que intervienen en un problema y formular distintas alternativas de solución.

Por poner un ejemplo de lo explicado anteriormente:

 

Posteriormente invertimos el orden de sus cifras, es decir, escribir el número al revés, en nuestro ejemplo será 321. 

Al mayor de los 2 números le restamos el más pequeño y obtenemos un nuevo número. 

1.    Si este número es de 3 cifras --> se queda igual. 

2.    Si es de 2 cifras -->  le añadimos un 0 a la izquierda.

321

-123  

-------

198

Ahora volvemos a invertir el orden de las cifras y en este caso sumamos estos 2 números.

198 ---> 891

  198

+891

-------

1089

Seguidamente, comenzaremos con el juego de cartas. Empezamos barajando las cartas para que éstas no estén ordenadas, sino dispuestas aleatoriamente. Como para el juego que vamos a hacer solo son necesarias treinta y nueve cartas y no las cuarenta de la baraja, le pedimos a un alumno que elimine una carta al azar, sacándola de la baraja y retirándola, para poder empezar ya así el juego. Esto se le pedirá a cada uno de los grupos  de alumnos formados, como es lógico.

El juego consiste en lo siguiente: un alumno de cada grupo debe elegir una carta de entre las treinta y nueve de la baraja, mirar a ver cuál es, enseñársela al resto de compañeros de su grupo, y finalmente, volver a meterla entre las demás cartas y barajar de nuevo. Esa será la carta que uno de nosotros va a adivinar, en cada uno de los grupos formados, por supuesto, empleando para ello sus fuertes conocimientos matemáticos, ante la natural expectación e incredulidad de los alumnos de la clase, cada uno de ellos integrante de uno de los distintos grupos formados.

Para empezar el truco de magia, uno de nosotros cogerá la baraja “boca abajo” y volteará las cartas, poniéndolas ahora hacia arriba, de forma que sean visibles para los alumnos, y distribuyéndolas en tres montones de forma que la primera carta forme parte del primer montón, la segunda del segundo y la tercera del tercer montón, volviendo a repetir el proceso a partir de la cuarta carta, es decir, se coloca la cuarta carta en el primer montón, la quinta en el segundo, la sexta en el tercero, la séptima en el primero, y así sucesivamente $(véase\,\, la \,\,siguiente \,\,figura)$.

Figura 2. Primera distribución de las cartas en montones

Uno de nosotros comentará a los alumnos que es importante que no pierdan de vista en ningún momento la carta que han sacado de la baraja, ya que cuando se hayan completado los tres montones, los alumnos deberán decirle al representante de su grupo en qué montón se encuentra esa carta.

Sin dar ninguna explicación, como si lo hiciese de forma no premeditada, colocará ese montón en medio de los otros dos y volverá a repetir todo el proceso tres veces más, de forma que en total se hayan completado cuatro formaciones de montones distintas.

Seguidamente, cuando estén formados los tres montones de la cuarta y última distribución de las cartas, se cambiará el orden de distribución de las cartas de la siguiente forma: las 3 primeras se colocan una en cada montón, la cuarta en el tercero, la quinta en el segundo, la sexta en el primero, la séptima en el primero, y así sucesivamente.

                       Figura 3. Última distribución de las cartas en montones

Finalmente, en esta última distribución, les diremos a los alumnos que ya se va a adivinar la carta de cada grupo. Para ello, se tomará el montón en el que se encuentra la carta, se ponen las cartas de ese montón boca abajo y se empieza a sacar cartas de la parte inferior del montón, de una en una, colocando las cartas impares $(con\,\, numeración\,\, impar)$ en la parte superior y eliminando las cartas pares hasta quedarse con 4 cartas.

Las 4 cartas se distribuirán en forma de reloj de 4 horas. Posteriormente se le pide a los alumnos de cada grupo que sumen las cifras del número obtenido y si el resultado es de dos cifras que vuelvan a repetirlo hasta obtener una cifra. La posición de la carta será la correspondiente a este número obtenido.

Conclusión

Como se puede observar nuestro objetivo se basa en transmitir conceptos básicos que motiven a los alumnos y vean así las matemáticas de otro punto de vista. En este caso, aplicada a un juego de cartas, algo que sin duda aporta un mayor interés de los alumnos a esta área. De esta forma acabamos con las clases monótonas de matemáticas.

Otras versiones

• Se puede llevar a cabo este truco por 4 personas y que cada profesor-mago realice el truco en cada grupo. De este modo, podríamos hallar de forma similar $(sin\,\,hacer\,\,la\,\,suma\,\,final)$ la carta de cada grupo, una para cada cifra del número 1089.
• Se puede cambiar el orden en el que se adivina la carta por otro. Por ejemplo, en el montón primero se colocan 3 cartas, en el segundo las dos siguientes y en el tercero una y a continuación repetimos esto de derecha a izquierda, es decir, tres en el tercero, dos en el segundo y una en el primero, y repetimos el proceso. Las 3 últimas cartas las distribuiremos una en cada montón.

Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, matematicascercanas.

@antonio_arjona7

Introducción a los poliedros: Prismas y pirámides

Este artículo se debe a una clase que di hace un año en una entrevista para un colegio privado. Me pidieron hablar sobre áreas y volúmenes de cuerpos geométricos... os dejo con esta entrada.

A pesar de que normalmente estamos acostumbrados a introducir las áreas de las figuras planas antes de hablar sobre los cuerpos geométricos, no es la única forma de hacerlo.

En esta entrada, propongo comenzar hablando sobre los cuerpos geométricos, partiendo de los conceptos de poliedro, prisma y pirámide. A continuación, a través de problemas reales sobre áreas y volúmenes, motivar al alumno a cuestionarse las fórmulas que permitan calcularlos.

En primer lugar se empezaría recordando el concepto de poliedro, prisma o pirámide, estableciendo sus elementos más representativos. A saber, caras, aristas, vértices, bases, caras laterales... Además se distinguirían sobre los diferentes tipos de prismas o pirámides.

Hay que tener presente que los ejemplos e imágenes de la realidad siempre son muy buenas para comprender los conceptos y aclarar ideas.

A continuación, dejo una breve presentación sobre cómo haría el comienzo de la misma.

Una vez completada la parte teórica, diapositivas 1-7, se pasaría a la aplicación de un problema real, que sería el siguiente:

https://drive.google.com/file/d/0B_7KkrKae1m-NGN2M0tYSUU3SlU/view?usp=sharing

El problema de la granja nos indica que nos imaginemos que tenemos una casa de campo como la que aparece en la imagen de la diapositiva 8, sin embargo, en el PDF se incluyen medidas de ancho, largo y altura de la casa y tejado. Es una actividad guiada, en la cual el profesor apenas tiene que explicar los problemas propuestos y el alumno podrá utilizar sus capacidades para aprender de forma autónoma. Le permitirá al alumno plantearse cuestiones relacionadas con el cálculo de volúmenes y sobre todo será una actividad relacionada con la vida real. Además, nuestros alumnos podrán deducir la cantidad de pintura que necesitaremos para pintar la casa, mediante un desarrollo de la figura en Geogebra, para ello bastará con desplazar los deslizadores de izquierda a derecha.

Podrán deducir el volumen de un prisma mediante otra app de Geogebra. Para ello, se plantean preguntan como:

• ¿Cambiará el volumen del prisma si cambiamos la inclinación al largo? ¿Y al ancho?
• ¿Qué crees que pasará con el volumen si cambiamos la altura del prisma? ¿Y si cambiamos la figura de la base?
• ¿De qué crees que dependerá la fórmula del volumen?

Finalmente se haría clic en la Fórmula para que vean realmente que al hacer esas variaciones planteadas la fórmula sólo depende del área de la base y de la altura del objeto.

Por otro lado, para deducir el volumen de una pirámide se puede comprobar llenando de agua, arena o arroz que el volumen de una pirámides es una tercera parte el volumen de un prisma que tiene la misma base y altura.

Como se observa, se han utilizado gran cantidad de imágenes de la vida cotidiana para darle sentido al hecho de que las matemáticas se encuentran en todas partes.

Este tema, que corresponde a niveles de 2º ESO y 3º ESO, se puede ampliar hablando de los poliedros regulares, del cálculo de otros tipos de áreas como la de un círculo o de un polígono regular, para poder hablar de otros tipos de prismas y cuerpos redondos como el cilindro, cono, esfera, etc. Si bien es cierto, que puede ser un poco caótico para nuestros alumnos llevar de la mano el cálculo de áreas y volúmenes a la vez, considero los alumnos están acostumbrados al estudio de muchas fórmulas y hasta que no se ve la aplicación tarda mucho tiempo. De este modo, el problema les aporta una visión global y les relaciona directamente las áreas con los volúmenes, para finalmente el día de mañana, si se les plantea el problema, puedan verlo con más naturalidad. También puede utilizarse a modo de repaso e ir directamente al cálculo de volúmenes en cursos como 3º ESO.

Nuestros alumnos, en innumerables ocasiones, no son capaces de conocer para qué sirven determinados temas de las matemáticas y esto puede ser debido a que no conocen suficientes aplicaciones de las misma a su entorno. Por este motivo, en este problema planteamos pintar la casa y el volumen de aire que puede haber dentro de la casa, como dos ejemplos particulares entre los muchos que podemos encontrar en la realidad.

@antonio_arjona7

Lectura Historia de los números reales

En los albores de la raza humana, las tribus más primitivas dedicaban sus actividades a la caza y a cuidar del rebaño de ganado. Cuando el rebaño es grande es necesario adoptar alguna estrategia para saber si se ha perdido o han robado parte de él. Por este motivo, es indispensable la utilización de un sistema de numeración que indique cuántos animales tenemos de cada tipo.

Muchas civilizaciones, en un principio, solo distinguían entre uno y muchos o entre uno, dos y más de dos. Posteriormente, se utilizó el lenguaje corporal como dedos de una o dos manos, pies, codo… y otros objetos como montones de piedras, muescas en un palo o trozo de hueso para expresar cantidades: un sol, dos corderos, tres caballos… Como podemos observar los números que se utilizan son los llamados números naturales $$\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, … \}$$ Poco a poco fueron apareciendo diferentes sistemas de numeración, los cuales utilizaban diferentes símbolos para representar las mismas cantidades, veamos unos ejemplos:

Muchas tablillas descubiertas, muestran que los babilonios tenían un sistema de numeración posicional en base 60. Este sistema tenía un signo para sortear el inconveniente de las posiciones vacías, lo que inducía en muchas ocasiones al error. Más adelante introdujeron un nuevo símbolo que podemos considerar como cero¹. Además, utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60.

                                                                                                             Tablilla Plimpton 322                   

Desde hace unos 5000 años, la gran mayoría de las civilizaciones han utilizado un sistema de numeración decimal. En primer lugar, los egipcios con sus jeroglíficos y con posterioridad los griegos, chinos… Sin embargo, la escritura ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiera el cálculo.

La civilización egipcia (2000 \,a. C.) empezó a usar expresiones que representaban lo que conocemos por números fraccionarios. Estas fracciones tenían como peculiaridad que el numerador siempre era igual a 1. En su escritura, representaban un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, el denominador. La omisión del numerador era debido a que siempre era el mismo.

En el siglo $V$ a. C. los pitagóricos encontraron unos números que llamaron inconmensurables, estos números no eran naturales, ni enteros ni fracciones. Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el siguiente problema:

''Hallar el valor numérico de la diagonal de un cuadrado de lado una unidad.''

Si aplicamos el teorema de Pitágoras tenemos que: $$ d^2 = 1^2 + 1^2 \Rightarrow d^2 = 2$$ Descubrieron así, un número que conocemos como raíz de 2, $\sqrt{2}$. Dicho número no es un número racional, lo llamaremos número irracional, y se caracteriza porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

Los chinos, hacia los siglos $II$ y $I\, a. C.$, utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar operaciones, en especial, cálculos comerciales. Estos bastoncillos eran negros y rojos para representar valores positivos y negativos. Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se agrupan formando el grupo de los números enteros $\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1, 0, 1, 2, … \} $. El cociente de dos números enteros con denominador no nulo forma el conjunto de los números racionales $$\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} : a, b \in Z; b \notin 0\}$$ En torno al año 650 d. C. Brahmagupta enseña en sus escritos a operar con sumas y restas usando bienes, deudas y la nada. Fueron utilizados en siglos posteriores pero no eran aceptados por gran parte de la comunidad matemática.

Los hindúes observaron que el valor posicional del sistema babilónico se podía aplicar al sistema decimal. Sin embargo, hasta el siglo $IX$ no se produjo la aparición del $0$.

El sistema actual fue inventado por los hindúes y transmitido a Europa por los árabes. No se estableció hasta el siglo $XIII$ y de forma lenta. Autores como Leonardo de Pisa "Fibonacci" intentaron popularizar el sistema. Este sistema estaba dotado de una barra horizontal para separar el numerador del denominador en las fracciones.

A principios del siglo $XVII$, los números decimales aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando la parte entera de la parte decimal mediante un punto o una coma. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el año 1972.

Desde los griegos, los matemáticos representaban los números racionales y algunos irracionales en una recta, denominada recta real. Finalmente, se dieron cuenta de que la unión de los dos conjuntos completaba dicha recta y a dicho conjunto se llamó conjunto de los números reales. $$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$ donde $\mathbb{I}$ es el conjunto de todos los números irracionales.

1.      ¡OJO! “Entre los matemáticos existe una gran controversia sobre si el $0$ debe o no debe ser considerado número natural.”

Nota: Si aportas una curiosidad sobre los números reales que no aparezca en la lectura, tendrás UN POSITIVO en la parte del trabajo diario. Esta parte es OPCIONAL pero te ayudará a aumentar tu nota :)

Para saber más:

• Demostración de que raíz de 2 es irracional
• Realidad e imaginación para obtener todos los números

Actividades:

1.      Realiza un resumen por parejas sobre la lectura, identificando las palabras que vas a añadir a tu diccionario matemático y las que desconoces para posteriormente buscarlas en casa.

2.      Identifica las ventajas e inconvenientes de dos de los siguientes sistemas de numeración y analiza sus principales características: sistema decimal, egipcio, romano, griego, binario, octal, hexadecimal.

3.      ¿Por qué crees que se utiliza el sistema decimal?

4.      ¿Qué significa que un sistema es posicional?

5.      Descompón las siguientes fracciones en suma de fracciones de denominador uno:   3/25,  7/8,  11/15

6.      ¿Por qué los números negativos no eran aceptados?

7.      En la definición de número racional o fracción hemos visto que eliminamos el denominador 0, ¿sabrías explicar por qué?

8.      ¿Qué números irracionales conoces? Cita todos los que conozcas o busca información sobre ellos. Háblanos de la importancia de algunos de ellos y alguna relación con la realidad. Nota: Los más importantes son los que tienen un símbolo asociado.

9.      ¿Cuál es la razón más importante por la que es conocido Fibonacci? Relaciona este concepto con el número áureo o número de oro.

10.   Cuéntanos un chiste matemático en el que se traten de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

@antonio_arjona7

Pasos para alcanzar un aprobado en mates

Como todos sabemos, MATEMÁTICAS es una asignatura que tiene gran dificultad para nuestros alumnos. Esto se comprueba fácilmente viendo el índice de aprobados de esta asignatura, que en un gran número de ocasiones es la de menor índice. Existen varios factores que inducen a que los alumnos no consigan ese ansiado aprobado:

• Juzgar a las matemáticas antes de empezar el curso. "Si el año pasado me fue mal, este me irá peor", "las matemáticas son muy difíciles". Las ideas preconcebidas no son buenas. Se debe incrementar el pensamiento positivo para afrontar la asignatura con más ganas y "entusiasmo".
  
  
  

• Desconocimiento de la importancia y belleza de las matemáticas y su relación con la vida cotidiana. Los alumnos se preguntan, "¿por qué estudio esto si no me va a servir para nada?", "¿en qué situaciones podré aplicar las matemáticas?", "¿cómo puede pensar alguien que las matemáticas son bellas?" ... Como dijo Bertrand Russell, "las matemáticas, consideradas correctamente, poseen no solamente verdad, sino una suprema belleza-- una belleza fría y austera, como la de una escultura." Normalmente las clases de matemáticas se enfocan a la adquisición de unos contenidos y objetivos marcados al principio del curso. Sin embargo, normalmente no se explica cuándo aparecieron dichos conceptos, quién o quienes los descubrieron, cuál es la importancia de su aparición, en qué situaciones se pueden aplicar ... La historia que envuelve a las matemáticas es cultura que los alumnos deben conocer. Por otro lado, las aplicaciones de las matemáticas en nuestra vida no suelen ser destacadas, provocando que los alumnos no sean conscientes que las matemáticas se encuentran en todas las situaciones de la vida y no sean capaces de observarlas en su entorno.
  
  
  

• Falta de motivación e interés. "Las clases de matemáticas son muy aburridas", "cuando voy a matemáticas me entra un sueño" son algunas frases que podemos escuchar a nuestros alumnos. El método tradicional de enseñanza de las matemáticas no está enfocado a los alumnos que vienen a nuestras aulas. El auge de las nuevas tecnologías en las que ellos se hayan inmersos debe tomarse en consideración e introducirse en las clases de matemáticas. Existen programas de geometría dinámica, como Geogebra o Cinderella que aportan un factor motivador, incrementan el interés de nuestros alumnos por la asignatura y les permiten plantearse cuestiones relacionadas con  los problemas y conceptos que estamos tratando. El uso de la calculadora, de hojas de cálculo y otras calculadoras más potentes como Wiris son imprescindibles en clase porque permiten centrarnos en lo importante, que es la comprensión de los conceptos y procedimientos, y no sólo en la realización de cálculos ya asimilados y comprendidos. Si bien, no se debe hacer únicamente uso de estas herramientas, pues también es importante saber resolverlas por nuestra cuenta.

• La participación en clase es un factor fundamental. Las dudas que se tienen deben ser preguntadas para solventarlas lo más pronto posible y así poder construir conocimientos sólidos que serán la base para la creación de los nuevos conceptos y procedimientos.

• La introducción de juegos matemáticos, "matemagia", las películas o series matemáticas pueden cambiar la mentalidad de las matemáticas como un ente abstracto al alcance de pocos.

• A medida que pasan los años, la cantidad de contenidos y procedimientos que aparecen en los libros de texto van disminuyendo, de este modo, los alumnos tienen menos que estudiar. Sin embargo, el estudio de los alumnos no aumenta y tampoco lo hacen las calificaciones que se van obteniendo. Es necesario una mayor implicación de alumnos y profesores, en simbiosis todos salen ganando. ¡Juntos podemos conseguirlo!
  

Como se observa, el problema no es únicamente de los alumnos, los profesores pueden adaptar la enseñanza a una metodología más moderna. El uso de recursos como las nuevas tecnologías, juegos, películas o series, "matemagia", la historia o las aplicaciones de las matemáticas en la vida, promueven un incremento de la motivación, interés y pueden meter el "gusanillo" a aquellos alumnos que aunque empezaron reacios a esta, a medida que pasa el tiempo ven la importancia de la asignatura en sus vidas y entorno. Por otro lado, los alumnos deben poner de su parte, deben conocer y aplicar las técnicas de estudio, esto es, hacer resúmenes, subrayar lo más importante, realizar esquemas ... ; incrementar la participación mediante el planteamiento de cuestiones o dudas; empezar la asignatura con un pensamiento positivo; etc.

A continuación, se indican una serie de pasos que considero imprescindibles para alcanzar el aprobado en "mates", si bien, los factores aconsejados anteriormente también deben tenerse en cuenta para conseguirlo.

El aprendizaje debe partir de los conocimientos previos. Los alumnos tendrán que identificar sus carencias en el momento en que no sean capaces de entender los ejemplos o ejercicios resueltos por el profesor. Los alumnos, al corregir los ejercicios podrán conocer sus errores y podrán corregirlos mediante el estudio de ejemplos y ejercicios similares, el planteamiento de dudas al profesor o a alguno de sus compañeros que haya asimilado aquellos conceptos o procedimientos. Una vez corregidos los errores, el alumno habrá construido correctamente los nuevos conceptos y habrá aprendido de manera significativa y por lo tanto, este conocimiento será más duradero. El cúmulo de aprendizajes alcanzados mediante este procedimiento anterior serán fundamentales para que el alumno obtenga una calificación positiva.

Una parte importante de los alumnos y padres solo piensan en el aprobado. De este modo, el aprendizaje parece estar en un segundo plano. Los conocimientos estudiados a corto plazo son efímeros y durarán poco tiempo en nuestro cerebro. Puede que este tipo de estudio garantice nuestro aprobado, pero a largo plazo no seremos capaces de recordar lo aprendido y la laguna que tendremos se hará cada vez más grande.

Por otro lado, también hay profesores de clases particulares cuyo objetivo principal es conseguir el aprobado de sus alumnos. Para ello, les incitan a resolver fundamentalmente los exámenes de años anteriores. Éste método, sin duda, puede ser efectivo si lo que pretendes es alcanzar el aprobado, y sobre todo si quieres que al año siguiente vuelvan los mismo alumnos a tus clases. Pero si lo que pretendes es que estos alumnos aprendan, es imprescindible hacer que tus alumnos piensen por sí mismos, manejen adecuadamente la lógica y conozcan la importancia y el uso de las herramientas que se hayan a su alcance.

Como dijo Norma Banicevich "la ciencia de las matemáticas es como un simple castillo de cristal, donde adentro se ve todo, pero desde afuera no se ve nada". Los profesores debemos invitar a nuestros alumnos a visitar el castillo por dentro y vean las matemáticas con unos ojos diferentes.

@antonio_arjona7

Matemáticas para pasar las navidades

Llegan las navidades y con ellas las vacaciones. Comienza el tiempo libre y para algunos/as el aburrimiento. Es hora de hacer algo diferente en estas navidades y hacer que sean únicas. Para ello os propongo una serie de actividades matemáticas, y con actividades no me refiero a ejercicios, sino a nuevas formas de utilizarlas, aprender y disfrutar de ellas.

Estoy harto de escuchar que las matemáticas están asociadas a aburrimiento, a ejercicios repetitivos y mecánicos y sobre todo a horror y temor de quiénes las utilizan. Estamos a tiempo de cambiar esta percepción de las matemáticas como algo inaccesible y lejos de nuestro alcance. Tenemos que encontrar su utilidad y encontrar la relación que existe con nuestras vidas y con todo lo que nos rodea. ¿Qué sería de nuestras vidas sin números y matemáticas? Efectivamente, un caos. Si no lo crees tienes que ver el siguiente vídeo.

No os entretengo más y comienzo a ofreceros algunas ideas para pasar de manera amena las navidades aprendiendo y utilizando las matemáticas. ¡Llena tu vida de matemáticas!

• Decorar un árbol de navidad. Puedes dibujar un árbol navideño y decorarlo con fórmulas matemáticas, las que más te gustan, las que te maravillan. También puedes decorar tu árbol de navidad añadiéndole figuras geométricas como un triángulo de Sierpinski en 3D, cubos, octaedros, estrellas pentagonales, omnipoliedros, ...

http://mediablogs.cadenaser.com/grado-361/files/2012/12/arbol.jpg

Fuente:   i-matematicas.com/blog/2010/11/20/arbol-matematico-para-la-navidad-2011

• Escribir poemas matemáticos es una manera de relajarte en casa, sacar tu vena amorosa y expresarle tu amor a la persona que quieres. ¡OJO! Utiliza conceptos sencillos e intuitivos para que evitar que se aburra.

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQlCElkPmEmuJEHQ4hzqqO-LRBXWbxdWeaFTzmmchcLuaYIlHu6oA

• Disfrutar del cine matemático. En navidades solemos quedar habitualmente con amigos o familiares en casa. En estos momentos decidimos ver alguna película o serie en la televisión y posteriormente comentarla. Internet nos ofrece una amplia variedad de películas y series relacionadas con las matemáticas que nos despertarán un mayor interés por esta bonita disciplina. Aunque estas películas traten contenidos matemáticos, no dejan de ser películas apasionantes, interesantes y muy buenas. Al hablar de algunas de sus escenas y comentar aquellos objetos o curiosidades que aparecen, estarás aumentando tus conocimientos matemáticos e incrementando tu interés y motivación por dicho aprendizaje. También puedes intentar resolver los acertijos que se plantean, por ejemplo, en la película La habitación de Fermat o en Los crímenes de Oxford. Además, existen series intrigantes como Numbers y series graciosas como Los Simpsons con las que pasar un buen rato, echar unas risas y aprender algunos conceptos matemáticos y físicos. A continuación veremos varios ejemplos de este tipo de películas y series:

1. Los crímenes de Oxford.
2. La habitación de Fermat.
3. The emitation game $(descifrando\,enigma)$.
4. 21 Black Jack.
5. Moëbius.
6. El número 23.
7. Una mente maravillosa.
8. Pi. Fe en el caos.
9. El indomable Will Hunting.
10. Donald en el país de las matemáticas $(para\,niños)$.
11. Los Simpsons $(serie)$.
12. Numbers $(serie)$.

• Bailar. En estas fechas tan especiales aprovechamos parte de nuestro tiempo para mover el esqueleto, pero ¿ qué mejor manera de hacerlo que representando funciones matemáticas ? ¿Cuál es el movimiento con el que más te identificas? Esta es una buena forma de aprender o recordar las funciones de manera divertida.

desmotivaciones.es

• Cantar canciones o ver vídeos musicales de matemáticas. Existe una relación fuerte entre la música y las matemáticas, parte de esto puede verse en la película Donald y las matemáticas. En primer lugar, la escala musical está basada en las fracciones.  Muchas composiciones musicales están basadas en la simetría. Otro ejemplo de esta relación lo dio Mozart, el cuál describió un juego de dados que consiste en la composición de una pequeña obra musical. Además, podemos encontrar varios ejemplos más como éste, composiciones basadas en distribuciones aleatorias. Os dejo una tesis de música y matemáticas. Por otro lado, existen muchas canciones relacionadas con temas matemáticos y podemos proponer actividades como cantar dichas canciones o crear poemas y composiciones nuevas. En el siguiente enlace os ofrezco una recopilación de canciones matemáticas que realicé hace tiempo y que os recomiendo que veáis, además, en dicho artículo, propongo una serie de actividades para su utilización en una clase de matemáticas de secundaria.

Canon del cangrejo de Bach. Música, banda de Moëbius y simetría.

• Realizar un dibujo para expresar tu amor hacia tu pareja o la persona de la que estás enamorada. Puedes mandarle un corazón matemático, la representación gráfica de tu amor, ...

Un corazón completito $(catedu.es)$

Fuente:   http://imagenesdeamor.me/2015/06/

• Tatuarte un símbolo, fórmula, concepto, figura geométrica, etc. Existen muchas expresiones y figuras matemáticas caracterizadas por su belleza y su carácter impactante para nuestros ojos. Si quieres tatuarte el cuerpo y todavía no sabes el qué, te ofrecemos algunas ideas:

  

Fuentes: 1)  www.lapatilla.com/site/2011/02/22/el-tatuaje-mas-bello-del-mundo

2) Pinterest.com                                                                   

3) http://blogtatuajes.com/tatuajes-de-signos-matematicos

• Confeccionar una camiseta, unas zapatillas o bolso matemático. En él puedes incluir fórmulas como el binomio de Newton, el teorema de Pitágoras, el último teorema de Fermat, el cuadrado mágico de Durero, un diagrama de Venn, una gráfica, o cualquier concepto o fórmula matemática que se te ocurra, por ejemplo: $$ e^{\pi \, i}+1=0$$

Bolsos matemáticos 

Zapatillas matemáticas

Puedes encontrar varias camisetas matemáticas auí.

• Resolver acertijos matemáticos es una manera magnífica para entretenerte en esos días de frío sentados en la candelita y mejorar tus capacidades para resolver problemas numéricos y de la vida cotidiana. Además, se puede utilizar como elemento motivador que los acertijos estén relacionados con temas navideños. Muchas disciplinas como la economía, biología, química, física, ingenierías, ... necesitan personas capaces de resolver problemas puntuales mediante el uso de conceptos matemáticos. Además, gran parte de las situaciones de la vida pueden modelizarse mediante patrones o modelos matemáticos, como las poblaciones de cualquier tipo de animal o planta, los icebergs, las enfermedades, etc. Por este motivo, es fundamental que todos los individuos sean competentes matemáticamente hablando. Para facilitar este proceso os proponemos algunas páginas para resolver acertijos.

1. Matemáticas recreativas y educativas.
2. Matemáticas cercanas.
3. Acertijos matemáticos.
4. Juegos de lógica.
5. Desafíos matemáticos del periódico El País. Varios de estos acertijos están íntimamente relacionados con la navidad, pues tratan sobre la lotería y la probabilidad de ganar algún premio, en particular, el más preciado, el premio gordo. A propósito del premio gordo os dejo el siguiente vídeo.

Os propongo en especial un reto matemático. Desafío extraordinario de navidad de El País. Por Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid.

• Decorar tus uñas. Si eres presumida y quieres demostrar que lo tuyo son las matemáticas, qué mejor manera que hacerlo que pintándote el número $\pi$ en ellas. También puedes elegir el número e o $\phi$.

  

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• Cocinar. Para ejecutar cualquier receta es imprescindible manejar las proporciones, ya que si la receta que manejamos es para 2 personas y nosotros queremos hacerla para otro número cualquiera de personas es necesario que la comida aumente o disminuya en proporción a ese número de personas. La actividad culinaria que propongo realizar en navidades es la decoración de un pastel o tarta con conceptos matemáticos, ideal si se la quieres regalar a alguien que les gusten las matemáticas. Puedes ver algunos ejemplos muy dulces a continuación.

Fuente:   www.abadiadigital.com/tarta-de-cumpleanos-para-matematicos

Fuente:   iesrioaguas.wordpress.com

¡Más postres y tartas!

• Reconocer las matemáticas que nos rodean. Continuamente, en navidades, salimos a ver los adornos navideños que se encuentran en las calles y no prestamos mucha atención a las belleza geométrica que se muestra ante nuestros ojos. Sería interesante fotografiar aquellas imágenes de la naturaleza y de la vida cotidiana que estén relacionadas con las matemáticas e identificar en ellas las formas geométricas y los conceptos más representativos. Ejemplo de ello son los siguientes:

Igualdades matemáticas con ventanas.

Fuente: Arte y decoración

Árbol de navidad, pirámide cuadrangular con forma de Pacman.

jpegnerdgasmo.com

Árbol de navidad, con forma de cono.

Fuente:   Evamate

En una clase de secundaria se podría plantear mediante un concurso fotográfico para dos distintos niveles, secundaria y bachillerato. Los temas a tratar pueden ser: matemáticas en el zoo, matemáticas en las redes sociales, arquitectura y matemáticas, etc. Las tres fotografías más innovadoras serán premiadas con un libro de matemáticas del nivel en que se encuentre dicho alumno.

• Investigar curiosidades matemáticas. Las siguientes curiosidades numéricas, como podemos observar, se pueden expresar en forma de árbol de navidad. Así, podemos tomar como escusa la navidad para hacer hincapié en la curiosidad matemática que cada uno llevamos dentro. Para ello podemos comenzar con resultados sorprendentes y de manera progresiva aumentar la formalidad de los resultados, hasta llegar a una demostración rigurosa de la misma.

Fuente: Desarrollo colaborativo de competencias

• Aplicar la papiroflexia para representar figuras geométricas, y posteriormente colgarlas en un árbol de navidad, por ejemplo, podemos crear dodecaedros, icosaedros, cubos, ... Véase la figura superior.

• Leer libros de matemáticas. Os dejo una colección de libros matemáticos que considero interesantes:

1. Malditas matemáticas.
2. El diablo de los números.
3. Fermat. El mago de los números.
4. Los crímenes de Oxford.

Éstos y otros libros los puedes encontrar en Matemáticas: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... En esta página además puedes obtenerlos en PDF.

• Curiosidades.

Ecuación navideña. "Merry Christmas"

Fuente: memespp.com/merry-christmas-9gag

Finalmente nuestros mejores deseos para vosotros, los lectores de este blog.

PD: 1)  Si alguno de vosotros conocéis algún instituto privado o concertado en España, aunque mejor si está cerca de Sevilla $(no\, bilingüe)$, por favor, comentármelo. El mejor regalo que podría recibir por reyes es poder empezar a trabajar como profesor de matemáticas, y porqué no, aplicar algunas de estas ideas en clase.

2) Sé que este artículo es muy friki.

3) Si conocéis alguna otra forma de disfrutar de las matemáticas en navidades, dejad un comentario.
4) La última imagen tiene errata, ¿no lo viste?

Esta entrada participa en la Edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Ztfnews.

@antonio_arjona7