Descubriendo a los farsantes. Falacias matemáticas 2

En esta entrada hablaremos sobre $3$ falacias matemáticas. Una falacia es un argumento que aparentemente es cierto pero que en realidad es falso. 

                                    $2>3$

Partimos de que $4<8$, al invertir estos números cambia el sentido de la desigualdad y queda $ \frac{1}{4}>\frac{1}{8} $. Después se descomponen ambos números como potencias de base $\frac{1}{2}$. Posteriormente aplicamos la función logaritmo y como esta función es creciente en su dominio ((0,+\infty)) entonces no cambia el sentido de la desigualdad y por tanto queda $ \log{(\frac{1}{2})^2} > \log{(\frac{1}{2})^3}$. Aplicamos una de las propiedades de los logaritmos y llegamos a $2\cdot \log{\frac{1}{2}}>3\cdot \log{\frac{1}{2}}$. Para finalizar se cancela de ambos lados $\log{\frac{1}{2}}$ pero aquí es donde está el error. Al dividir por $\log{\frac{1}{2}}$ se tiene que cambiar el sentido de la desigualdad porque el logaritmo de un número $a$ con $0<a<1$ es negativo, es decir, $$ \log{a}<0 \qquad \forall \,a\in (0,1)$$ Así que al cambiar el sentido de la desigualdad llegaríamos a que $2<3$ lo cual sabemos que es cierto.

$1=-1$

¿No os parece curioso esto? Si nuestros ministros conocieran este hecho ¡¡la crisis desaparecería de un plumazo!! Nuestra deuda financiera pasaría a ser el dinero que tendría, es decir, si España debe $100$ millones entonces pasaría a tener un saldo positivo de $100$ millones. Entonces tenemos que ir inmediatamente a los bancos a pedir préstamos, cuanto más dinero nos den mejor, ya que deber es lo mismo que tener. Pero si esto fuera así, o las personas no conocen la existencia de esto o los bancos estarían arruinados todos. Vamos ahora a ver como no es oro todo lo que reluce, o sea no es cierto todo lo que lo parezca. 

El error se encuentra en la segunda fila ya que la raíz cuadrada está definida en los números reales y en $\mathbb{R}$ la raíz de un número negativo no existe. 

                                    $5=4$

Luego si esto fuera cierto tendríamos que $2+2=5$.

Partimos del hecho de que $-20=-20$ y lo expresamos como $25-45=16-36$, posteriormente se suma $\frac{81}{4}$ a ambos términos de la igualdad. Después se expresa cada término como producto de $4$, $5$ y/o $\frac{9}{2}$. En el siguiente paso hacemos el cambio $$ a^2 -2\cdot a \cdot b + b^2 = (a-b)^2 $$
En este caso el error se realiza al hacer la raíz cuadrada, es decir, en el siguiente paso. Cuando hacemos una raíz cuadrada obtenemos 2 valores posibles uno positivo y otro negativo. Así que para que la igualdad se cumpla $5-\frac{9}{2}= 4-\frac{9}{2}$ ó $5-\frac{9}{2}=-(4-\frac{9}{2})$. Como vemos en el ejemplo el valor positivo no lo cumple. Veamos que sí lo hace el negativo. $$ \frac{1}{2}=5-\frac{9}{2}=-(4-\frac{9}{2})=-4+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}$$

Para finalizar nos quedamos con una anécdota.

Bertrand Russell afirmó que de un enunciado falso se podía deducir cualquier cosa y uno de los que le escuchaba le preguntó:

"¿Quiere usted decir que si $2+2=5$ entonces usted es el Papa?"

Russell sin esperar ni un momento empezó con la demostración. 

"Si suponemos que $2+2=5$, entonces si restamos $3$ obtenemos que $1=2$, lo cual es equivalente a decir que $2=1$. Como el Papa y yo somos dos personas y $2=1$ entonces el Papa y yo somos uno, luego yo soy el Papa".

Conclusión: Nos damos cuenta que si nos detenemos un poco en la supuesta demostración que realizan podemos ver como hay algún momento en la que meten algún "gambazo", es decir, un error matemático grave que hace que la maravillosa demostración no sea más que una mentira enmascarada.

Si te interesa el tema en el siguiente enlace puedes ver otras 2 falacias matemáticas.

@antonio_arjona7

Descubriendo a los farsantes. Falacias matemáticas 1

En Internet podemos encontrar muchos artículos, imágenes, vídeos, etc  en los que se afirma demostrar cosas que todos sabemos que son falsas como que $1=2$, $2+2=5$, etc.

En esta entrada os enseñaremos algunos de ellos y se explicará los fallos que se comenten en la "demostración".

Veamos algunos ejemplos:

$1=2$

¡¡Estupendo!! Si esto fuera un examen ahora tengo muchas más posibilidades ya que con sacar un $2.5$ ya aprobaría con un $5$. Pero el que saque un $10$ ¡¡tiene un $20$!! Al único que no le afecta en nada este cambio es al que saque un $0$ porque el doble de $0$ es $0$.  

Pero si $1=2$ y multiplicamos por $2$ tenemos que $2=4$ y por tanto como $1=2$ y $2=4$ se tiene que $1=4$, si volvemos a multiplicar por $2$ llegamos a que $4=8$ y como $1=4$ y $4=8$ entonces $1=8$, si seguimos así $$1=16=32=64=128=\dots = 2^{+\infty}=+\infty$$ Así que sacando un simple $1$ en tu examen ¡¡puedes sacar una nota infinita!! ¿Para que queremos tanta nota si nos basta con un $10$ para obtener la máxima calificación? Vaya que si sacamos un $1$ podemos tener un $10$ y encima podemos derrochar infinitos puntos de nuestra nota. O sea que si le prestáramos nota a todos y cada uno de los alumnos del mundo para que todos tuvieran un $10$ aún así nos seguiría sobrando nota. Estamos un poco derrochadores ¿no os parece? 

Si esto fuera así todo sería maravilloso, pero ¿no es más fácil que no hayamos equivocado en el desarrollo a que nos diera el profesor la posibilidad de obtener un $10$ sacando únicamente un $1$? 

Pues sí, había un fallo en el desarrollo. Veámoslo:

Partimos de que $a=b$, multiplicamos ambos términos por $a$, posteriormente restamos a cada lado $b^2$. Después descomponemos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia, es decir, $a^2 -b^2 = (a-b)(a+b)$ y en el segundo término sacamos factor común $b$ y quedaría $ab-b^2=b(a-b)$. El siguiente paso consiste en dividir por el factor común en ambos lados $(a-b)$ y aquí es donde está el error porque no se puede dividir por $0$.

Nota: Como partimos del hecho de que $a=b$ entonces $a-b=0$ y al dividir por $a-b$ estaríamos dividiendo por $0$.

¿Por qué no se puede dividir por $0$? 

Si pudiéramos dividir por $0$ entonces existiría un número $a$ que fuese su inverso multiplicativo, es decir, $\exists \,a$ tal que $a \cdot 0 = 1$ lo cual es falso ya que sabemos que la multiplicación de cualquier número real por $0$ es $0$.

Nota: Si se cumpliera que $2=1$ restando $1$ a cada término tendríamos $1=0$ y multiplicando por cualquier número real $a$ no nulo obtendríamos que $a=0$ y por tanto todos los números reales serían $0$.

$0=1$

En la primera implicación se sustituye $0=1-1$. En la segunda aplicamos la propiedad asociativa y cambiamos los paréntesis de lugar. Sin embargo esta implicación no es correcta porque la propiedad asociativa de una serie infinita sólo se cumple cuando la serie es convergente o divergente, es decir, cuando la suma es un valor finito y único o cuando es infinita. O sea que si la suma se puede reordenar de forma que cambie su valor entonces no se cumple la propiedad asociativa. A estas series se les denomina series telescópicas. 

Para ver otras 3 falacias matemáticas entrad aquí.

@antonio_arjona7

Demostración de que Raíz de 2 es irracional

¿Qué significa que un números es irracional? Un número irracional es un número que no es racional, es decir, no se puede representar como fracción $\frac{p}{q}$ siendo $p,\,q$ números enteros y $q$ no nulo.

Para probar este resultado razonaremos por reducción al absurdo, pero ¿en que consiste este método? Este método consiste en partir de la hipótesis contraria y llegar a una contradicción que nos dirá que lo que hemos supuesto es falso. 

En este caso, lo contrario es que $\sqrt{2}$ es un número racional porque si un número no es irracional entonces debe ser racional, es decir, es de la forma $$ \sqrt{2}= \dfrac{p}{q}$$ donde $p, \, q \in \mathbb{Z}$  y  $q\neq 0$.

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\frac{p}{q}$ es una fracción irreducible, o lo que es lo mismo, que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es $1$. Si no fuera irreducible es porque es una fracción reducible y entonces podemos dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos números, creando así una fracción equivalente. 

Si $d=m.c.d(p,\,q)$ entonces $\exists \,p',\,q'\in\mathbb{Z}$ tal que $p=d\cdot p';\,\,\,\,\,q=d\cdot q'$, y así $$  \dfrac{p}{q}=\dfrac{d\cdot p'}{d \cdot q'} = \dfrac{p'}{q'}$$
Supongamos que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, elevando al cuadrado y operando tenemos: $$ 2=\dfrac{p^2}{q^2}\rightarrow 2\cdot q^2 = p^2   $$
Luego $p^2$ es par lo cual implica que $p$ es también par. Como $p$ es par entonces es de la forma $p= 2\cdot k$ para un cierto $k\in\mathbb{Z}$. Sustituyendo el valor de $p$ y operando obtenemos: $$ 2\cdot q^2 = p^2 \rightarrow 2 \cdot q^2 = 4 \cdot k^2 \rightarrow q^2 = 2 \cdot k^2$$ 
Luego $q^2$ es par y esto implica que $q$ es par. Como consecuencia hemos llegado a que $p$ y $q$ son pares lo cual es absurdo porque esto quiere decir que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es al menos $2$ y esto contradice a nuestra hipótesis $(m.c.d(p,\,q)=1)$. 

Conclusión: 2 es un número irracional.

Nota: Si quieres conocer los tipos de números que existen pincha aquí.

@antonio_arjona7