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lunes, 15 de septiembre de 2014

Realidad e imaginación para obtener todos los números.

Los números van apareciendo cuando realizamos algunas operaciones fundamentales en matemáticas.
Todos conocemos las cuatro operaciones básica, como son:
  1. Suma.
  2. Resta.
  3. Multiplicación.
  4. División.
La quinta es un poco menos conocida y es la raíz ((cuadrada, \,\,cúbica, \,\,etc)).
La sexta y última y más importante (la \,\, imaginación).


Cuando empezamos en la escuela nos enseñan que los números naturales son el 1, el 2, el 3, es decir los números positivos que empiezan en el 1 y se obtienen añadiendo 1 unidad. Así el conjunto de los naturales, el cual denotamos por $\mathbb{N}$ es: $$  \mathbb{N}=\{1,\,2,\,3,\,4,\,\dots\}  $$
Si sumamos 2 números naturales $n+m$ obtenemos otro número natural. Por ejemplo $2+5=7$. Pero ¿qué ocurre si restamos 2 números naturales? Si restamos 2 números naturales $n-m$ tenemos 3 casos.


  1. Si $n>m$ entonces existe otro número natural $k$ tal que $n=m+k$ y por tanto $n-m=k$ que es un número natural. Por ejemplo: $7-4=3$ ya que $7=4+3$.
  2. Si $n=m$ entonces la resta de ambos es el número 0. Por ejemplo: si tenemos un billete de 5€ y se nos cae en una alcantarilla entonces hemos perdido 5€ y al final nos hemos quedado sin ningún euro, es decir, nos quedan 0€.
  3. Si $n<m$ entonces existe otro número natural $k$ tal que $m=n+k$ y por tanto $n-m=-k$, es decir, la resta de ambos números es un número negativo. Por ejemplo: $7-9=-2$.
Al añadir la operación resta obtenemos el conjunto de los enteros, denotado por $\mathbb{Z}$, y formado por los números positivos (números \, naturales), los números negativos y el 0. Así, $$ \mathbb{Z}=\{\dots, \,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,\dots\}  $$ Luego el conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$.

La resta de 2 números enteros es también otro número entero. Por ejemplo: $-2 - 3 = -5$.

Al multiplicar 2 números naturales obtenemos otro número natural. Al multiplicar 2 números enteros obtenemos otro número entero. Si el signo de ambos números es el mismo entonces obtenemos un número positivo y si ambos números poseen signos distintos entonces tenemos un número negativo. 

Al dividir 2 números enteros obtenemos las fracciones. Por ejemplo $\frac{9}{6}$. $\frac{9}{6}$ es una fracción reducible, ya que se puede dividir el numerador y denominador por un mismo número, en este caso es el 3. Al dividir el numerador y el denominador por un mismo número, en nuestro caso el 3, llegamos a una fracción equivalente, así $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Cuando ya no podemos dividir el numerador y denominador por un mismo número llegamos a una fracción irreducible

El conjunto formado por todas las fracciones se llama conjunto de los números racionales, y se denota por $\mathbb{Q}$.  $$ \mathbb{Q}=\left\{\dfrac{m}{n}\,\,|\,\,m,\,n\in \mathbb{Z},\,\,n\not = 0\right\}  $$
El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales, ya que si el numerador es un múltiplo del denominador se tiene que $\frac{n\cdot m}{m}=n$. Luego $$ \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}  $$

Se denomina conjunto de los números irracionales al conjunto cuyos números que no pueden ser representados como fracciones. Al realizar raíces, generalmente obtenemos números racionales, salvo que sea la raíz $n$-ésima de un número que está elevado a $n$ ya que en este caso se cancelaría la raíz con la potencia y nos quedaría el número únicamente. Como ejemplo podemos citar: $\sqrt{2},\,\,\sqrt[4]{3}$. Se llama conjunto de los números reales y se denota por $\mathbb{R}$ al conjunto de los números racionales y los irracionales. Como todo número irracional es un número real que no es racional, el conjunto de los números irracionales se denota por $$\mathbb{I}=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$
Nota: Un número irracional es aquel que posee infinitas cifras decimales que no siguen un orden lógico. Por ejemplo el número $\pi$.

Si la raíz es impar, raíz cúbica o quinta, ... entonces podemos hacer la raíz tanto a números positivos como negativos. Sin embargo cuando la raíz es par, es decir, raíz cuadrada, cuarta, sexta, ... entonces solo la podemos realizar con números positivos. ¿Por qué? ¿Existe algún número que al elevarlo al cuadrado de -1? Es decir, existe algún $x$ real tal que $x^2 = -1$. La respuesta es que no porque un número real al elevarlo al cuadrado es positivo o cero pero nunca negativo.

Algunas ecuaciones como la mencionada anteriormente aparecen a menudo. Por ello el matemático Leonhard Euler inventó los números complejos, formados por una parte real y una parte imaginaria, y al conjunto de los números complejos se los denotó por $\mathbb{C}$ El número imaginario es $i=\sqrt{-1}$. $$ \mathbb{C}=\{a + b\cdot i\,\,|\,\, a,\,b\in \mathbb{R}\} $$
Como ejemplos de números complejos podemos mencionar $i,\,\,1+i,\,\,2$.

Todo número real es a la vez un número complejo, basta tomar $b=0$ para ver este hecho. Así llegamos a $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{C} $$
El conjunto de los números en los que $a=0$ se les llama imaginarios puros y se denota por Im.

¿Estaréis pensando entonces existen o no existen raíces negativas?
En los números reales la respuesta es que no, sin embargo en los números complejos sí.


Resumen:

Partimos del conjunto de los números naturales. Cuando añadimos la operación resta obtenemos el conjunto de los números enteros. Cuando añadimos la división aparece el conjunto de los números racionales y cuando introducimos las raíces aparecen los números irracionales. Por último cuando aceptamos la existencia de raíces negativas aparecen los números complejos.

Nota: Todos los números irracionales no aparecen al realizar una raíz de un número. Por ejemplo: el número $\pi$, el número de Euler $e$.



@antonio_arjona7

4 comentarios:

  1. El post está bastante bien, lo único que cambiaría es la palabra patrón en la nota sobre los números irracionales (por pura cautela).

    0.101001000100001... tiene presente un patrón muy simple, lo que no tiene es finitud de cifras ni un periodo de repetición.

    Aunque se entiende perfectamente el contexto de patrón.

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  2. Yo lo puse pensando en un patrón que no fuera lógico pero la verdad es que está mal expresado. Gracias Willix corregiré el error.

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  3. En mi opinión el diagrama no está bien construido, los números racionales no están contenidos en los irracionales, un número es racional o es irracional, son conjuntos disyuntos.

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  4. El dibujo no representa esa afirmación. Puede que los colores a lo mejor parezcan eso pero el color lila no rodea completamente al color azul, por tanto no lo contiene. Algunas representaciones aparecen con líneas rectas y dejando el conjunto R en dos partes iguales. Esta representación pretende expresar que la cantidad de irracionales es mayor que la de los racionales. Puede que esté un poco confuso a la vista. Gracias por el comentario.

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