Para probar este resultado razonaremos por reducción al absurdo, pero ¿en que consiste este método? Este método consiste en partir de la hipótesis contraria y llegar a una contradicción que nos dirá que lo que hemos supuesto es falso.
En este caso, lo contrario es que $\sqrt{2}$ es un número racional porque si un número no es irracional entonces debe ser racional, es decir, es de la forma $$ \sqrt{2}= \dfrac{p}{q}$$ donde $p, \, q \in \mathbb{Z}$ y $q\neq 0$.
Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\frac{p}{q}$ es una fracción irreducible, o lo que es lo mismo, que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es $1$. Si no fuera irreducible es porque es una fracción reducible y entonces podemos dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos números, creando así una fracción equivalente.
Si $d=m.c.d(p,\,q)$ entonces $\exists \,p',\,q'\in\mathbb{Z}$ tal que $p=d\cdot p';\,\,\,\,\,q=d\cdot q'$, y así $$ \dfrac{p}{q}=\dfrac{d\cdot p'}{d \cdot q'} = \dfrac{p'}{q'}$$
Supongamos que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, elevando al cuadrado y operando tenemos: $$ 2=\dfrac{p^2}{q^2}\rightarrow 2\cdot q^2 = p^2 $$
Luego $p^2$ es par lo cual implica que $p$ es también par. Como $p$ es par entonces es de la forma $p= 2\cdot k$ para un cierto $k\in\mathbb{Z}$. Sustituyendo el valor de $p$ y operando obtenemos: $$ 2\cdot q^2 = p^2 \rightarrow 2 \cdot q^2 = 4 \cdot k^2 \rightarrow q^2 = 2 \cdot k^2$$
Luego $q^2$ es par y esto implica que $q$ es par. Como consecuencia hemos llegado a que $p$ y $q$ son pares lo cual es absurdo porque esto quiere decir que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es al menos $2$ y esto contradice a nuestra hipótesis $(m.c.d(p,\,q)=1)$.
Conclusión: 2 es un número irracional.
Nota: Si quieres conocer los tipos de números que existen pincha aquí.
@antonio_arjona7
Una forma de demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional puede ser la siguiente:
ResponderEliminarSupongamos que √2 = (m/n), donde (m/n) es un racional mayor que 1 y menor que 2. Además, m y n no tienen factores primos comunes.
Al elevar al exponente 2 en ambos miembros, se obtiene:
m²/n² = 2 (*).
Sea M = (m1, m2, … , mk) el conjunto de los factores primos de m.
Y sea N = (n1, n2, … , nl) el conjunto de los factores primos de n.
Sabemos que M∩N = ∅.
Los factores primos de m² son m1,m1, m2,m2, … , mk,mk.
Por tanto, como son los mismos factores de M repetidos, el conjunto de factores primos de m², es P= (m1,m2, … , mk) = M.
Los factores primos de n², son n1,n1,n2,n2, …, nl,nl.
Por tanto, como son los mismos factores de N repetidos, el conjunto de factores primos de n², es Q = (n1,n2, … , nl) = N.
Tenemos que P = M y Q = N. Entonces, P∩Q = ∅.
Se deduce que m² y n² no tienen factores primos comunes.
De modo que la fracción m²/n² es irreducible.
Debido a que n ≠ 1, (m²/n²) ≠ k, donde k es un número natural.
En particular, (m²/n²) ≠ 2.
Según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción.
Y así, la suposición inicial es falsa. Finalmente, √2 es irracional.