Multiplicación gráfica

En esta entrada vamos a explicar un método para la multiplicación de 2 números de forma gráfica. Para realizar este método satisfactoriamente bastará con dibujar puntos, rectas y saber contar. Estarás pensando ...
 

¿Multiplicar sin tablas? ¿Es posible? 

Pues sí, así que ya no tienes ninguna excusa para no saber multiplicar 2 números. 

Nota: A este método se le suele llamar equivocadamente como multiplicación maya. Una explicación de esto la podéis encontrar en el siguiente enlace.

Veremos ahora un ejemplo, el cual lo realizaremos paso a paso.
 

Multiplicación gráfica

Si queremos multiplicar por ejemplo $32\,\cdot \,25$,

tomamos primero el número $32$ y dibujamos en primer lugar $3$ líneas verticales
 

y un poco más alejadas de ellas otras $2$ líneas verticales, como indican las unidades de este número.
 

Posteriormente tomamos el segundo número, el $25$ y dibujamos $2$ líneas horizontales
 

y un poco más alejadas otras $5$ líneas horizontales.

Para realizar este método dividimos la región mediante las siguientes curvas imaginarias.
 

Obtenemos ahora $3$ regiones imaginarias. Cada región nos dará un número que nos servirá para calcular el resultado final. Estos números se calculan contando la cantidad de puntos que obtenemos como intersección entre las líneas verticales con las horizontales en cada región.
 

Empezamos contando a partir de la región de la derecha, tal y como indica la flecha, y acabaremos contando en la región de la izquierda.
 

En la región de la derecha tenemos: $1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9$ y $10$ puntos. Así que colocamos un $0$ en dicha región y nos llevamos una unidad para la siguiente región.
 

En la región del centro empezamos a contar. $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10,\,11,\,12,\,13,\,14,\,15,\,16,\,17,\,18$ y $19$. Como nos llevamos una unidad de la región anterior entonces tenemos un total de $20$ puntos. Así que ponemos un $0$ en su casillero y nos llevamos $2$ unidades para la siguiente y última región.
 

Empezamos ahora a contar los puntos de la región derecha. $1,\,2,\,3,\,4,\,5$ y $6$. Como nos llevamos $2$ de la región central tenemos un total de $8$. Luego el número que debemos colocar en el casillero de la región izquierda es un $8$.
 

Así que el número resultante de la multiplicación de $32\,\cdot \,25$ es $800$.
 

Veamos ahora otro ejemplo. En este caso lo realizaremos con números de $3$ cifras y uno de los $2$ números posee un $0$ entre sus cifras. 

Si queremos multiplicar $142 \, \cdot \, 105$. Trazamos líneas verticales que representen el número $142$ y líneas horizontales que representen el número $105$. 

Posteriormente dibujamos las líneas imaginarias. Debemos hacer este paso con cuidado, ya que poseemos un $0$ entre las cifras de $105$. 

Empezamos a contar por la región de la derecha, como indica la flecha de la siguiente figura. En la región de la derecha tenemos $10$ puntos, luego colocamos un $0$ y nos llevamos $1$ para la siguiente región. En la siguiente obtenemos $20$ puntos, más uno que nos llevamos obtenemos un total de $21$. Así que colocamos un $1$ y nos llevamos $2$ para la región central. En esta región tenemos $7$ puntos más $2$ que nos llevamos obtenemos $9$. En la posterior región tenemos $4$ puntos y en la última solo $1$.

Luego $$ 142\,\cdot\, 105 = 14.910 $$

Como ventajas podemos mencionar que es rápido con números pequeños y que no hace falta saberse las tablas de multiplicar. Como inconveniente tenemos que el método no es rápido con números grandes.

Para saber más:

1. Método de multiplicación hindú
2. Método de multiplicación rusa

Descubriendo a los farsantes. Falacias matemáticas 2

En esta entrada hablaremos sobre $3$ falacias matemáticas. Una falacia es un argumento que aparentemente es cierto pero que en realidad es falso. 

                                    $2>3$

Partimos de que $4<8$, al invertir estos números cambia el sentido de la desigualdad y queda $ \frac{1}{4}>\frac{1}{8} $. Después se descomponen ambos números como potencias de base $\frac{1}{2}$. Posteriormente aplicamos la función logaritmo y como esta función es creciente en su dominio ((0,+\infty)) entonces no cambia el sentido de la desigualdad y por tanto queda $ \log{(\frac{1}{2})^2} > \log{(\frac{1}{2})^3}$. Aplicamos una de las propiedades de los logaritmos y llegamos a $2\cdot \log{\frac{1}{2}}>3\cdot \log{\frac{1}{2}}$. Para finalizar se cancela de ambos lados $\log{\frac{1}{2}}$ pero aquí es donde está el error. Al dividir por $\log{\frac{1}{2}}$ se tiene que cambiar el sentido de la desigualdad porque el logaritmo de un número $a$ con $0<a<1$ es negativo, es decir, $$ \log{a}<0 \qquad \forall \,a\in (0,1)$$ Así que al cambiar el sentido de la desigualdad llegaríamos a que $2<3$ lo cual sabemos que es cierto.

$1=-1$

¿No os parece curioso esto? Si nuestros ministros conocieran este hecho ¡¡la crisis desaparecería de un plumazo!! Nuestra deuda financiera pasaría a ser el dinero que tendría, es decir, si España debe $100$ millones entonces pasaría a tener un saldo positivo de $100$ millones. Entonces tenemos que ir inmediatamente a los bancos a pedir préstamos, cuanto más dinero nos den mejor, ya que deber es lo mismo que tener. Pero si esto fuera así, o las personas no conocen la existencia de esto o los bancos estarían arruinados todos. Vamos ahora a ver como no es oro todo lo que reluce, o sea no es cierto todo lo que lo parezca. 

El error se encuentra en la segunda fila ya que la raíz cuadrada está definida en los números reales y en $\mathbb{R}$ la raíz de un número negativo no existe. 

                                    $5=4$

Luego si esto fuera cierto tendríamos que $2+2=5$.

Partimos del hecho de que $-20=-20$ y lo expresamos como $25-45=16-36$, posteriormente se suma $\frac{81}{4}$ a ambos términos de la igualdad. Después se expresa cada término como producto de $4$, $5$ y/o $\frac{9}{2}$. En el siguiente paso hacemos el cambio $$ a^2 -2\cdot a \cdot b + b^2 = (a-b)^2 $$
En este caso el error se realiza al hacer la raíz cuadrada, es decir, en el siguiente paso. Cuando hacemos una raíz cuadrada obtenemos 2 valores posibles uno positivo y otro negativo. Así que para que la igualdad se cumpla $5-\frac{9}{2}= 4-\frac{9}{2}$ ó $5-\frac{9}{2}=-(4-\frac{9}{2})$. Como vemos en el ejemplo el valor positivo no lo cumple. Veamos que sí lo hace el negativo. $$ \frac{1}{2}=5-\frac{9}{2}=-(4-\frac{9}{2})=-4+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}$$

Para finalizar nos quedamos con una anécdota.

Bertrand Russell afirmó que de un enunciado falso se podía deducir cualquier cosa y uno de los que le escuchaba le preguntó:

"¿Quiere usted decir que si $2+2=5$ entonces usted es el Papa?"

Russell sin esperar ni un momento empezó con la demostración. 

"Si suponemos que $2+2=5$, entonces si restamos $3$ obtenemos que $1=2$, lo cual es equivalente a decir que $2=1$. Como el Papa y yo somos dos personas y $2=1$ entonces el Papa y yo somos uno, luego yo soy el Papa".

Conclusión: Nos damos cuenta que si nos detenemos un poco en la supuesta demostración que realizan podemos ver como hay algún momento en la que meten algún "gambazo", es decir, un error matemático grave que hace que la maravillosa demostración no sea más que una mentira enmascarada.

Si te interesa el tema en el siguiente enlace puedes ver otras 2 falacias matemáticas.

@antonio_arjona7

Descubriendo a los farsantes. Falacias matemáticas 1

En Internet podemos encontrar muchos artículos, imágenes, vídeos, etc  en los que se afirma demostrar cosas que todos sabemos que son falsas como que $1=2$, $2+2=5$, etc.

En esta entrada os enseñaremos algunos de ellos y se explicará los fallos que se comenten en la "demostración".

Veamos algunos ejemplos:

$1=2$

¡¡Estupendo!! Si esto fuera un examen ahora tengo muchas más posibilidades ya que con sacar un $2.5$ ya aprobaría con un $5$. Pero el que saque un $10$ ¡¡tiene un $20$!! Al único que no le afecta en nada este cambio es al que saque un $0$ porque el doble de $0$ es $0$.  

Pero si $1=2$ y multiplicamos por $2$ tenemos que $2=4$ y por tanto como $1=2$ y $2=4$ se tiene que $1=4$, si volvemos a multiplicar por $2$ llegamos a que $4=8$ y como $1=4$ y $4=8$ entonces $1=8$, si seguimos así $$1=16=32=64=128=\dots = 2^{+\infty}=+\infty$$ Así que sacando un simple $1$ en tu examen ¡¡puedes sacar una nota infinita!! ¿Para que queremos tanta nota si nos basta con un $10$ para obtener la máxima calificación? Vaya que si sacamos un $1$ podemos tener un $10$ y encima podemos derrochar infinitos puntos de nuestra nota. O sea que si le prestáramos nota a todos y cada uno de los alumnos del mundo para que todos tuvieran un $10$ aún así nos seguiría sobrando nota. Estamos un poco derrochadores ¿no os parece? 

Si esto fuera así todo sería maravilloso, pero ¿no es más fácil que no hayamos equivocado en el desarrollo a que nos diera el profesor la posibilidad de obtener un $10$ sacando únicamente un $1$? 

Pues sí, había un fallo en el desarrollo. Veámoslo:

Partimos de que $a=b$, multiplicamos ambos términos por $a$, posteriormente restamos a cada lado $b^2$. Después descomponemos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia, es decir, $a^2 -b^2 = (a-b)(a+b)$ y en el segundo término sacamos factor común $b$ y quedaría $ab-b^2=b(a-b)$. El siguiente paso consiste en dividir por el factor común en ambos lados $(a-b)$ y aquí es donde está el error porque no se puede dividir por $0$.

Nota: Como partimos del hecho de que $a=b$ entonces $a-b=0$ y al dividir por $a-b$ estaríamos dividiendo por $0$.

¿Por qué no se puede dividir por $0$? 

Si pudiéramos dividir por $0$ entonces existiría un número $a$ que fuese su inverso multiplicativo, es decir, $\exists \,a$ tal que $a \cdot 0 = 1$ lo cual es falso ya que sabemos que la multiplicación de cualquier número real por $0$ es $0$.

Nota: Si se cumpliera que $2=1$ restando $1$ a cada término tendríamos $1=0$ y multiplicando por cualquier número real $a$ no nulo obtendríamos que $a=0$ y por tanto todos los números reales serían $0$.

$0=1$

En la primera implicación se sustituye $0=1-1$. En la segunda aplicamos la propiedad asociativa y cambiamos los paréntesis de lugar. Sin embargo esta implicación no es correcta porque la propiedad asociativa de una serie infinita sólo se cumple cuando la serie es convergente o divergente, es decir, cuando la suma es un valor finito y único o cuando es infinita. O sea que si la suma se puede reordenar de forma que cambie su valor entonces no se cumple la propiedad asociativa. A estas series se les denomina series telescópicas. 

Para ver otras 3 falacias matemáticas entrad aquí.

@antonio_arjona7

La leyenda de Sissa, el inventor del ajedrez

Cuenta la leyenda que el rey indio Shirham perdió a su hijo en una batalla. Sus súbditos intentaron animarle de todas las formas posibles, las cuales fueron vanas. Un día se presentó ante él el inventor del ajedrez Sissa con la idea de entretenerle y maravillarle con su juego. 

El juego constaba de un tablero 8 x 8 como el que aparece en la figura de la derecha. Como podemos ver consta de casillas blancas y negras que se alternan. Cada jugador posee 8 peones, 2 torres, 2 caballos, 2 alfiles, una reina y un rey, uno posee fichas de color blanco y el otro de color negro. El juego consiste en matar al rey del otro jugador antes de que maten al tuyo. Para saber más sobre el ajedrez pincha aquí.

                                 Piezas de ajedrez

El rey tras aprenderlo jugó y jugó. Mientras jugaba dejaba de pensar sobre la pérdida de su hijo. Como el rey estaba tan contento por el regalo quiso concederle a Sissa lo que más deseara. Sissa le dijo que no pero ante la insistencia del rey aceptó. Le pidió un grano de trigo para la primera casilla, 2 para la segunda, 4 para la tercera, 8 para la cuarta, 16 para la quinta, y así sucesivamente hasta llegar a la casilla 64, es decir, para cada casilla el doble de la casilla anterior. Por último el rey debía entregarle todo ese grano. 

El rey accedió de inmediato pensando que lo que Sissa pedía lo podía cumplir con facilidad. Al fin y al cabo un grano tampoco es que valga mucho, y pensaría que la suma de todos no sería tan alta. 

El rey pidió que le calcularan cuantos granos de trigo eran exactamente. Recuerda que tenemos que sumar $$ 1+ 2 + 4 + 8 +16 + \dots + 2^{62} + 2^{63} $$ es decir $$ 2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{62} + 2^{63} $$ El resultado era $18.446.744.073.709.551.615$ granos de trigo. Es hasta difícil de leer este número, por lo menos te cansas si lo lees entero. Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo. 

Granos de trigo

Cuando el rey se enteró que en su reino no había suficiente trigo para pagarle decidió matarlo, ya que lo consideró como una ofensa hacia su persona.

¿Eres capaz de calcular dicha suma fácilmente sin tener que calcular cuanto vale cada sumando?

Veremos ahora como calcularlo. Vamos a probar que la suma es $$ 1+ 2 + 4 + \dots + 2^{63} = 2^{64}-1 $$

Denotaremos por $T_n$ a la cantidad de granos que hay hasta la casilla $n$. Probaremos por inducción que $T_n = 2^{n} -1$.

Para ello veremos que se cumple para $n=1$ $$T_1= 1 = 2^1 -1$$ Ahora supondremos cierto el resultado hasta $n$ y probaremos el resultado para $n+1$, es decir, supondremos que $T_{n}=2^0+2^1 + \dots + 2^{n-1}=2^{n} -1 $, este dato se llama Hipótesis de inducción, y probaremos que $T_{n+1}=2^0 + 2^1 + \dots + 2^{n} = 2^{n+1}-1$ para cualquier $n$ natural.

$$ T_{n+1} = 2^0+2^1+\dots +2^{n-1}+ 2^{n}=2^{n}-1+2^{n}= 2\cdot 2^n -1=2^{n+1}-1$$ y así vemos como queda demostrado la igualdad que queríamos.

Nota: La segunda igualdad se obtiene aplicando la Hipótesis de inducción. 

Así, en el caso particular de $n=64$. Tenemos que $$ T_{64} = 2^0 + 2^1 + \dots + \dots + 2^{63}= 2^{64}-1 $$

Como $2^{64}=18.446.744.073.709.551.616$, entonces $T_{64} = 18.446.744.073.709.551.615$. 

@antonio_arjona7

Demostración de que Raíz de 2 es irracional

¿Qué significa que un números es irracional? Un número irracional es un número que no es racional, es decir, no se puede representar como fracción $\frac{p}{q}$ siendo $p,\,q$ números enteros y $q$ no nulo.

Para probar este resultado razonaremos por reducción al absurdo, pero ¿en que consiste este método? Este método consiste en partir de la hipótesis contraria y llegar a una contradicción que nos dirá que lo que hemos supuesto es falso. 

En este caso, lo contrario es que $\sqrt{2}$ es un número racional porque si un número no es irracional entonces debe ser racional, es decir, es de la forma $$ \sqrt{2}= \dfrac{p}{q}$$ donde $p, \, q \in \mathbb{Z}$  y  $q\neq 0$.

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\frac{p}{q}$ es una fracción irreducible, o lo que es lo mismo, que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es $1$. Si no fuera irreducible es porque es una fracción reducible y entonces podemos dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos números, creando así una fracción equivalente. 

Si $d=m.c.d(p,\,q)$ entonces $\exists \,p',\,q'\in\mathbb{Z}$ tal que $p=d\cdot p';\,\,\,\,\,q=d\cdot q'$, y así $$  \dfrac{p}{q}=\dfrac{d\cdot p'}{d \cdot q'} = \dfrac{p'}{q'}$$
Supongamos que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, elevando al cuadrado y operando tenemos: $$ 2=\dfrac{p^2}{q^2}\rightarrow 2\cdot q^2 = p^2   $$
Luego $p^2$ es par lo cual implica que $p$ es también par. Como $p$ es par entonces es de la forma $p= 2\cdot k$ para un cierto $k\in\mathbb{Z}$. Sustituyendo el valor de $p$ y operando obtenemos: $$ 2\cdot q^2 = p^2 \rightarrow 2 \cdot q^2 = 4 \cdot k^2 \rightarrow q^2 = 2 \cdot k^2$$ 
Luego $q^2$ es par y esto implica que $q$ es par. Como consecuencia hemos llegado a que $p$ y $q$ son pares lo cual es absurdo porque esto quiere decir que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es al menos $2$ y esto contradice a nuestra hipótesis $(m.c.d(p,\,q)=1)$. 

Conclusión: 2 es un número irracional.

Nota: Si quieres conocer los tipos de números que existen pincha aquí.

@antonio_arjona7

Realidad e imaginación para obtener todos los números.

Los números van apareciendo cuando realizamos algunas operaciones fundamentales en matemáticas.
Todos conocemos las cuatro operaciones básica, como son:

1. Suma.
2. Resta.
3. Multiplicación.
4. División.

La quinta es un poco menos conocida y es la raíz ((cuadrada, \,\,cúbica, \,\,etc)).

La sexta y última y más importante (la \,\, imaginación).

Cuando empezamos en la escuela nos enseñan que los números naturales son el 1, el 2, el 3, es decir los números positivos que empiezan en el 1 y se obtienen añadiendo 1 unidad. Así el conjunto de los naturales, el cual denotamos por $\mathbb{N}$ es: $$  \mathbb{N}=\{1,\,2,\,3,\,4,\,\dots\}  $$
Si sumamos 2 números naturales $n+m$ obtenemos otro número natural. Por ejemplo $2+5=7$. Pero ¿qué ocurre si restamos 2 números naturales? Si restamos 2 números naturales $n-m$ tenemos 3 casos.

1. Si $n>m$ entonces existe otro número natural $k$ tal que $n=m+k$ y por tanto $n-m=k$ que es un número natural. Por ejemplo: $7-4=3$ ya que $7=4+3$.
2. Si $n=m$ entonces la resta de ambos es el número 0. Por ejemplo: si tenemos un billete de 5€ y se nos cae en una alcantarilla entonces hemos perdido 5€ y al final nos hemos quedado sin ningún euro, es decir, nos quedan 0€.
3. Si $n<m$ entonces existe otro número natural $k$ tal que $m=n+k$ y por tanto $n-m=-k$, es decir, la resta de ambos números es un número negativo. Por ejemplo: $7-9=-2$.

Al añadir la operación resta obtenemos el conjunto de los enteros, denotado por $\mathbb{Z}$, y formado por los números positivos (números \, naturales), los números negativos y el 0. Así, $$ \mathbb{Z}=\{\dots, \,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,\dots\}  $$ Luego el conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$.

La resta de 2 números enteros es también otro número entero. Por ejemplo: $-2 - 3 = -5$.

Al multiplicar 2 números naturales obtenemos otro número natural. Al multiplicar 2 números enteros obtenemos otro número entero. Si el signo de ambos números es el mismo entonces obtenemos un número positivo y si ambos números poseen signos distintos entonces tenemos un número negativo. 

Al dividir 2 números enteros obtenemos las fracciones. Por ejemplo $\frac{9}{6}$. $\frac{9}{6}$ es una fracción reducible, ya que se puede dividir el numerador y denominador por un mismo número, en este caso es el 3. Al dividir el numerador y el denominador por un mismo número, en nuestro caso el 3, llegamos a una fracción equivalente, así $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Cuando ya no podemos dividir el numerador y denominador por un mismo número llegamos a una fracción irreducible. 

El conjunto formado por todas las fracciones se llama conjunto de los números racionales, y se denota por $\mathbb{Q}$.  $$ \mathbb{Q}=\left\{\dfrac{m}{n}\,\,|\,\,m,\,n\in \mathbb{Z},\,\,n\not = 0\right\}  $$

El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales, ya que si el numerador es un múltiplo del denominador se tiene que $\frac{n\cdot m}{m}=n$. Luego $$ \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}  $$

Se denomina conjunto de los números irracionales al conjunto cuyos números que no pueden ser representados como fracciones. Al realizar raíces, generalmente obtenemos números racionales, salvo que sea la raíz $n$-ésima de un número que está elevado a $n$ ya que en este caso se cancelaría la raíz con la potencia y nos quedaría el número únicamente. Como ejemplo podemos citar: $\sqrt{2},\,\,\sqrt[4]{3}$. Se llama conjunto de los números reales y se denota por $\mathbb{R}$ al conjunto de los números racionales y los irracionales. Como todo número irracional es un número real que no es racional, el conjunto de los números irracionales se denota por $$\mathbb{I}=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$

Nota: Un número irracional es aquel que posee infinitas cifras decimales que no siguen un orden lógico. Por ejemplo el número $\pi$.

Si la raíz es impar, raíz cúbica o quinta, ... entonces podemos hacer la raíz tanto a números positivos como negativos. Sin embargo cuando la raíz es par, es decir, raíz cuadrada, cuarta, sexta, ... entonces solo la podemos realizar con números positivos. ¿Por qué? ¿Existe algún número que al elevarlo al cuadrado de -1? Es decir, existe algún $x$ real tal que $x^2 = -1$. La respuesta es que no porque un número real al elevarlo al cuadrado es positivo o cero pero nunca negativo.

Algunas ecuaciones como la mencionada anteriormente aparecen a menudo. Por ello el matemático Leonhard Euler inventó los números complejos, formados por una parte real y una parte imaginaria, y al conjunto de los números complejos se los denotó por $\mathbb{C}$ El número imaginario es $i=\sqrt{-1}$. $$ \mathbb{C}=\{a + b\cdot i\,\,|\,\, a,\,b\in \mathbb{R}\} $$
Como ejemplos de números complejos podemos mencionar $i,\,\,1+i,\,\,2$.

Todo número real es a la vez un número complejo, basta tomar $b=0$ para ver este hecho. Así llegamos a $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{C} $$
El conjunto de los números en los que $a=0$ se les llama imaginarios puros y se denota por Im.

¿Estaréis pensando entonces existen o no existen raíces negativas?
En los números reales la respuesta es que no, sin embargo en los números complejos sí.

Resumen:

Partimos del conjunto de los números naturales. Cuando añadimos la operación resta obtenemos el conjunto de los números enteros. Cuando añadimos la división aparece el conjunto de los números racionales y cuando introducimos las raíces aparecen los números irracionales. Por último cuando aceptamos la existencia de raíces negativas aparecen los números complejos.

Nota: Todos los números irracionales no aparecen al realizar una raíz de un número. Por ejemplo: el número $\pi$, el número de Euler $e$.

@antonio_arjona7

¿Cuántos 1'os hay entre 0 y 99? ¿Y entre 0 y 9.999?

¿Cuántos 1'os hay entre 0 y 99? ¿Y entre 0 y 9.999?

¿Y si nos restringimos al conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$?

@antonio_arjona7