Castillitos en el aire

Las operaciones con fracciones no son un tema complejo, de hecho ya en 1º ESO ya se pueden encontrar alumnos que las manejan con soltura, pero que pasa si se camufla la división, pues que llegamos a obtener unos castillos de fracciones que ya parecen ser de OTRO NIVEL. Nada más lejos de la realidad.

Al escribir esta entrada recuerdo que este mismo nombre lo lleva una canción de copla que dice así:

"Castillitos en el aire

sabiendo que son mentira

casi to el mundo los hace"

Como dice la canción, estos castillos son MENTIRA, pues no son más que una simple división de fracciones cuyo nivel ya hemos dejado claro al principio. Por otro lado, aunque la canción diga casi to el mundo los hace, en este caso no es cierto, pues gran parte del alumnado de Bachillerato e incluso de algunas carreras siguen cayendo en estas TRAMPAS.

Pero bueno, si nos damos cuenta, este cálculo puede realizarse de otra forma, como sigue:

Y alguno pensará, si tardamos lo mismo:

No sé si es porque tengo hambre o porque en realidad esta fracción se parece a un SANDWICH, pero yo imagino que los números inferior y superior son los "panes" y los del centro la "lechuga".

Luego para resolver este castillo de fracciones basta con juntar pan con pan y lechuga con lechuga. La multiplicaciones de los "panes" dará el numerador final $(2·7=14)$ y la multiplicación de las "lechugas" $(3·4=12)$ nos dará el denominador final. Si multiplicamos de cabeza nos ahorramos un paso intermedio. Basta con simplificar las fracciones para terminar.

@antonio_arjona7

Pasos para alcanzar un aprobado en mates

Como todos sabemos, MATEMÁTICAS es una asignatura que tiene gran dificultad para nuestros alumnos. Esto se comprueba fácilmente viendo el índice de aprobados de esta asignatura, que en un gran número de ocasiones es la de menor índice. Existen varios factores que inducen a que los alumnos no consigan ese ansiado aprobado:

• Juzgar a las matemáticas antes de empezar el curso. "Si el año pasado me fue mal, este me irá peor", "las matemáticas son muy difíciles". Las ideas preconcebidas no son buenas. Se debe incrementar el pensamiento positivo para afrontar la asignatura con más ganas y "entusiasmo".
  
  
  

• Desconocimiento de la importancia y belleza de las matemáticas y su relación con la vida cotidiana. Los alumnos se preguntan, "¿por qué estudio esto si no me va a servir para nada?", "¿en qué situaciones podré aplicar las matemáticas?", "¿cómo puede pensar alguien que las matemáticas son bellas?" ... Como dijo Bertrand Russell, "las matemáticas, consideradas correctamente, poseen no solamente verdad, sino una suprema belleza-- una belleza fría y austera, como la de una escultura." Normalmente las clases de matemáticas se enfocan a la adquisición de unos contenidos y objetivos marcados al principio del curso. Sin embargo, normalmente no se explica cuándo aparecieron dichos conceptos, quién o quienes los descubrieron, cuál es la importancia de su aparición, en qué situaciones se pueden aplicar ... La historia que envuelve a las matemáticas es cultura que los alumnos deben conocer. Por otro lado, las aplicaciones de las matemáticas en nuestra vida no suelen ser destacadas, provocando que los alumnos no sean conscientes que las matemáticas se encuentran en todas las situaciones de la vida y no sean capaces de observarlas en su entorno.
  
  
  

• Falta de motivación e interés. "Las clases de matemáticas son muy aburridas", "cuando voy a matemáticas me entra un sueño" son algunas frases que podemos escuchar a nuestros alumnos. El método tradicional de enseñanza de las matemáticas no está enfocado a los alumnos que vienen a nuestras aulas. El auge de las nuevas tecnologías en las que ellos se hayan inmersos debe tomarse en consideración e introducirse en las clases de matemáticas. Existen programas de geometría dinámica, como Geogebra o Cinderella que aportan un factor motivador, incrementan el interés de nuestros alumnos por la asignatura y les permiten plantearse cuestiones relacionadas con  los problemas y conceptos que estamos tratando. El uso de la calculadora, de hojas de cálculo y otras calculadoras más potentes como Wiris son imprescindibles en clase porque permiten centrarnos en lo importante, que es la comprensión de los conceptos y procedimientos, y no sólo en la realización de cálculos ya asimilados y comprendidos. Si bien, no se debe hacer únicamente uso de estas herramientas, pues también es importante saber resolverlas por nuestra cuenta.

• La participación en clase es un factor fundamental. Las dudas que se tienen deben ser preguntadas para solventarlas lo más pronto posible y así poder construir conocimientos sólidos que serán la base para la creación de los nuevos conceptos y procedimientos.

• La introducción de juegos matemáticos, "matemagia", las películas o series matemáticas pueden cambiar la mentalidad de las matemáticas como un ente abstracto al alcance de pocos.

• A medida que pasan los años, la cantidad de contenidos y procedimientos que aparecen en los libros de texto van disminuyendo, de este modo, los alumnos tienen menos que estudiar. Sin embargo, el estudio de los alumnos no aumenta y tampoco lo hacen las calificaciones que se van obteniendo. Es necesario una mayor implicación de alumnos y profesores, en simbiosis todos salen ganando. ¡Juntos podemos conseguirlo!
  

Como se observa, el problema no es únicamente de los alumnos, los profesores pueden adaptar la enseñanza a una metodología más moderna. El uso de recursos como las nuevas tecnologías, juegos, películas o series, "matemagia", la historia o las aplicaciones de las matemáticas en la vida, promueven un incremento de la motivación, interés y pueden meter el "gusanillo" a aquellos alumnos que aunque empezaron reacios a esta, a medida que pasa el tiempo ven la importancia de la asignatura en sus vidas y entorno. Por otro lado, los alumnos deben poner de su parte, deben conocer y aplicar las técnicas de estudio, esto es, hacer resúmenes, subrayar lo más importante, realizar esquemas ... ; incrementar la participación mediante el planteamiento de cuestiones o dudas; empezar la asignatura con un pensamiento positivo; etc.

A continuación, se indican una serie de pasos que considero imprescindibles para alcanzar el aprobado en "mates", si bien, los factores aconsejados anteriormente también deben tenerse en cuenta para conseguirlo.

El aprendizaje debe partir de los conocimientos previos. Los alumnos tendrán que identificar sus carencias en el momento en que no sean capaces de entender los ejemplos o ejercicios resueltos por el profesor. Los alumnos, al corregir los ejercicios podrán conocer sus errores y podrán corregirlos mediante el estudio de ejemplos y ejercicios similares, el planteamiento de dudas al profesor o a alguno de sus compañeros que haya asimilado aquellos conceptos o procedimientos. Una vez corregidos los errores, el alumno habrá construido correctamente los nuevos conceptos y habrá aprendido de manera significativa y por lo tanto, este conocimiento será más duradero. El cúmulo de aprendizajes alcanzados mediante este procedimiento anterior serán fundamentales para que el alumno obtenga una calificación positiva.

Una parte importante de los alumnos y padres solo piensan en el aprobado. De este modo, el aprendizaje parece estar en un segundo plano. Los conocimientos estudiados a corto plazo son efímeros y durarán poco tiempo en nuestro cerebro. Puede que este tipo de estudio garantice nuestro aprobado, pero a largo plazo no seremos capaces de recordar lo aprendido y la laguna que tendremos se hará cada vez más grande.

Por otro lado, también hay profesores de clases particulares cuyo objetivo principal es conseguir el aprobado de sus alumnos. Para ello, les incitan a resolver fundamentalmente los exámenes de años anteriores. Éste método, sin duda, puede ser efectivo si lo que pretendes es alcanzar el aprobado, y sobre todo si quieres que al año siguiente vuelvan los mismo alumnos a tus clases. Pero si lo que pretendes es que estos alumnos aprendan, es imprescindible hacer que tus alumnos piensen por sí mismos, manejen adecuadamente la lógica y conozcan la importancia y el uso de las herramientas que se hayan a su alcance.

Como dijo Norma Banicevich "la ciencia de las matemáticas es como un simple castillo de cristal, donde adentro se ve todo, pero desde afuera no se ve nada". Los profesores debemos invitar a nuestros alumnos a visitar el castillo por dentro y vean las matemáticas con unos ojos diferentes.

@antonio_arjona7

Cadena de matemáticos

En esta entrada vamos a intentar hacer una gran cadena de matemáticos. Empieza Fermat con su Pequeño teorema y ahora os toca a vosotros. Toca la T, ¿conoces algún matemático cuyo nombre empiece por T? Participa, comparte, cuantos más larga la cadena mejor.

@antonio_arjona7

Patrón de la serie

Determina el patrón lógico que establece la siguiente serie.

@antonio_arjona7

Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Antes de nada deberás conocer como resolver ecuaciones de primer grado, conocer las ecuaciones equivalentes, transformar ecuaciones equivalentes en otras y despejar incógnitas. Si ya conoces todo esto puedes adentrarte en el mundo de los sistemas de ecuaciones, en este caso, en el de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas se representa de la siguiente forma:

¡No te asustes si ves demasiadas letras!

http://wwwdontmakemecountto3.blogspot.com.es/2011/08/dont-worry-be-happy.html

Todas las letras en negrita son números, generalmente enteros, fracciones o decimales, es decir, normalmente aparecerán como coeficientes números racionales.

Bueno, ¡pongámonos manos a la obra!

Es frecuente utilizar 4 formas distintas de resolver un sistema de ecuaciones. El método de sustitución, igualación, reducción y gráfico. En este post os ofrecemos como resolver mecánicamente los sistemas, por este motivo, los métodos que se explicarán serán los 3 primeros.

Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible en caso contrario. Un sistema es compatible determinado si tiene una única solución y compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Veamos en primer lugar el caso en que exista una única solución. Vamos a resolver el siguiente sistema por los 3 métodos.

Método de sustitución

Paso 1: Despejamos x en la 1ª ecuación, por ejemplo:

Paso 2: Sustituimos la expresión obtenida en la 2ª ecuación.

Paso3: Resolver la ecuación.

Paso 4: Sustituir el valor de y en el despeje inicial de x.

Paso 5: La solución es única $$x, y$ = $-5, 3$$.

PD: No caigas en el error de que hay dos soluciones porque haya dos incógnitas. Esto es completamente falso.

Método de igualación

Paso 1: Despejamos x en las 2 ecuaciones.

Paso 2: Igualar las expresiones obtenidas.

Paso3: Resolver la ecuación.

Los pasos 4 y 5 son idénticos para los 3 métodos.

Método de reducción

Este método consiste en sumar un múltiplo de la primera ecuación con otro múltiplo de la segunda de manera que el resultado de sumar las ecuaciones resultantes elimine una de las dos incógnitas.

Paso 1: Si queremos eliminar la incógnita x tendremos que multiplicar por 2 la primera ecuación y por 1 la segunda, es decir, dejar igual que está.

¡OJO! Multiplicar la ecuación por 2 es multiplicar por 2 a todos y cada uno de los factores del primer y del segundo miembro, siendo el primer miembro lo que se encuentra a la izquierda de la igualdad y el segundo miembro lo que aparece a la derecha.

Paso 2: Sumar ambas ecuaciones.

Paso 3: Resolver la ecuación.

Los pasos 4 y 5, como ya se ha indicado son los mismo que en el primer método.

Si tu nivel es superior a 2º de ESO y te suena que pueden aparecer otro tipo de soluciones puedes continuar tu aprendizaje con lo siguiente...

UN SISTEMA PUEDE TENER $\infty$ SOLUCIONES.

Si un sistema tiene más de una solución, entonces tendrá infinitas y esto es debido a que las dos ecuaciones son equivalentes, o lo que es lo mismo, proporcionales. Es el caso del siguiente sistema.

Como podemos observar, la segunda ecuación se obtiene multiplicando la primera por -2. De este modo para hallar las soluciones nos sobraría una de las ecuaciones, por ejemplo la segunda, ya que las soluciones obtenidas en cada ecuación son las mismas.

Quedémonos con la primera. $$2x+3y=3$$ Despejemos una de las incógnitas, por ejemplo x. Obtenemos $$x=\frac{3-3y}{2}$$ Podríamos pensar en que tendríamos una o dos soluciones a lo sumo. Para encontrar una única solución necesitamos otra ecuación de la cual poder despejar y. Como esto no es posible, lo único que podemos hacer es dar valores a la variable y y ver que valores toma x para cada uno de ellos. Hacemos una tabla de valores, ¡como hacemos con las funciones! pero en este caso a quien damos valores es a y.

Como observamos podemos tomar el valor que queramos en y, y a su vez encontramos otro valor de x que está asociado a dicho valor de y. Luego el número de soluciones son tantas como las posibilidades que tenemos de elegir y, ¡que son infinitas!

¿Y si no nos damos cuenta de que las ecuaciones son proporcionales? Si aplicamos el método de reducción obtenemos 0=0 y esto nos indica que las ecuaciones son proporcionales.

UN SISTEMA PUEDE NO TENER SOLUCIÓN.

Los sistemas incompatibles, sin solución, son casos muy específicos y se pueden ver a simple vista. Son aquellos que no cumplen la siguiente proporción. $$\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}$$ Es decir, una de las igualdades anteriores no se cumple como ocurre en los sistemas compatibles. Un ejemplo de ello puede ser el siguiente:

Otra forma de verlo es al aplicar el método de reducción que obtenemos que dos número distintos son iguales, por ejemplo 0=1, lo cual es absurdo.

En este caso si multiplicamos por 2 la primera ecuación $(4x+6y=6)$ y posteriormente la sumamos con la segunda tenemos: $(0=-1)$.

Espero que os sirva de ayuda. Si te ayudó danos un Like y Comparte con tus amigos. #LasMatemáticasAlPoder

@antonio_arjona7

Criterios de divisibilidad

¿Cómo sabemos si un número es divisible por otro?

Lo primero que se nos puede ocurrir es hacer la división y ver si el resto es 0. Este método es correcto, pero si tenemos números muy grandes tardaremos mucho más tiempo en hacer la división y como el tiempo es oro, aquí te ofrecemos otras formas de comprobarlo.

Criterio de divisibilidad por 11:

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11. Ej: 121, 1331.

Veamos ahora como aplicar estos criterios en un ejemplo $(1288)$.

• Es divisible por 2 porque termina en un número par $(8\,es\,par)$.
• No es divisible por 3 porque la suma de sus cifras $1+2+8+8=19$ no es múltiplo de 3.
• Es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 88 es un múltiplo de 4 $(88/4=22)$.
• No es divisible por 5 porque no termina ni en 0 ni en 5.
• No es divisible por 6 porque aunque es divisible por 2, no es divisible por 3.
• Es divisible por 7 porque cumple el criterio. Veámoslo:

     En primer lugar, separamos el número en dos parte, dejando la última cifra en la segunda parte. 

     La última cifra la multiplicamos por 2. 

     Posteriormente restamos este número a la primera parte de la separación.

    

     Luego 1288 es divisible por 7 si lo es 112. Como 112 es un número grande y no sabemos

     directamente si es divisible por 7 o no, aplicaremos otra vez este criterio.

En primer lugar separamos la cifra de las unidades $$11 | 2$$ posteriormente, al número sin la cifra de las unidades, le restamos el doble de las unidades. $$11-2*2 =11-4=7$$ Como 7 es divisible por 7, entonces 1288 SI es divisible por 7.

• Es divisible por 8 porque $(288/8=36)$.
• No es divisible por 9 porque la suma de sus cifras $1+2+8+8=19$ no es múltiplo de 9. Otra forma de ver que no es divisible por 9 es porque para que lo fuera tendría que ser dos veces divisible por 3, lo cual es no cierto, ya que sabemos que no es divisible por 3.
• No es divisible por 10 porque no termina en 0.
• No es divisible por 11 porque la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 1, que no es divisible por 11. 

Para comprobar que has aprendido los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10 entra aquí.

Para comprobarlos todos hazlo en la página de Smartick.

Ejercicio propuesto: Comprueba si son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 los siguientes números: 145, 3467, 12624, 212.

@antonio_arjona7

Los nietos de Marisa

@antonio_arjona7

Pentágonos

@antonio_arjona7