Fermat. El matemático aficionado

En este post os hablaré sobre la vida de Pierre de Fermat y sobre los temas más importantes que trató a lo largo de su vida.

Pierre de Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne $(Francia)$ y murió el 12 de enero de 1665 en Castres $(Francia)$. Era hijo de Dominique Fermat, un rico comerciante de pieles que desempeñó diferentes cargos en el gobierno,  y de Claire de Long, descendiente de una familia de juristas. Fue criado y educado en su ciudad natal. Dominaba los idiomas europeos de mayor importancia de la época, además del griego y el latín y era un apasionado de la literatura, la poesía.

Entre 1625 y 1630 se trasladó a Burdeos, donde empezó a realizar sus primeras investigaciones matemáticas. Aprendió geometría, como otros muchos matemáticos de la época, a través de siete de los ocho libros de Cónicas de Apolonio de Perga. El octavo libro $(Plane \,\,loci)$ se encontraba desaparecido. Fermat, en 1629 hizo una reconstrucción de dicho libro mediante la información que habían dado otros autores anteriormente, como Papus de Alejandría.

Estudió leyes en Toulouse y se graduó en la universidad de Orléans en 1631. En dicho año obtuvo un puesto de magistrado en el Parlamento de Toulouse y se casó con Louise de Long, prima de su madre. Desde su nombramiento, Fermat fue ascendiendo en la política hasta que en 1652 alcanzó el máximo nivel en la corte criminal.

Parte del trabajo de Fermat lo conocemos gracias a la correspondencia que tuvo con otros matemáticos de la época, ya que rechazó el reconocimiento público en vida. Además, su amigo Pierre de Carcavi también se dedicó a difundirlo entre los matemáticos más importantes de la época, ya que éste era fundador de la Academia de las Ciencias.

A pesar de ser un matemático aficionado realizó bastantes avances tanto en la teoría de números, como en la geometría analítica y en el cálculo de probabilidades.

Uno de los temas que le interesaban a Fermat era la búsqueda de un método que nos dijera si un número cogido al azar es primo o no. Esto era debido a que el método que se conocía $(método \,\,de \,\, las \,\,divisiones)$ era muy laborioso y requería de mucho cálculo y tiempo cuando el número era cada vez mayor. Fermat se dedicó a él en numerosas ocasiones y al resultado que llegó fue a la conjetura de que los números de la forma $N_n=2^{2^{n}}+1$ son primos. A estos números $N_n$ se le conocen como números primos de Fermat. Llegó a esta conjetura pensando que si los primeros cinco números lo cumplían, debía cumplirse para los posteriores. Un siglo después, en 1739, Euler encontró que 641 era divisor del siguiente número de Fermat $(N_5 =2^{2^5}+1)$. Además probó que cualquier divisor de un número primo de Fermat $N_t$, era de la forma $2^{t+1} k +1$. A partir de entonces estos números perdieron su interés. Tiempo después se volvió a retomarse debido a la conexión con un problema clásico griego que estaba sin resolver. El problema consistía en saber cuales son los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás. Unos dos mil años después, en el año 1801, Gauss demostraba que un polígono regular de $n$ lados se puede construir con regla y compás si, y solo si, $n=2^r \cdot p_1  \cdots  p_s$, donde $r$ y $s$ son números enteros mayores o iguales que 0 y los primos $p_i$ son de la forma $2^m +1$. La forma de estos $p_i$ es la que nos hace seguir buscando números primos de Fermat. Actualmente sólo se conocen los cinco primeros, y se sabe que no existe ninguno más con menos de 40000 cifras. La aparición de la criptografía también ha influido en que se halla intensificado dicha búsqueda.

Fermat también se dedicó al estudio de los números perfectos, consecuencia de su estudio apareció su pequeño teorema de Fermat, tal y como se puede apreciar en la carta escrita a Mersenne en 1640. Además también se dedicó a estudiar los números perfectos por múltiplos y descubrió el segundo ejemplo conocido hasta la fecha, el 672, en el que la suma de sus divisores menos dicho número era el doble del número.

Otro de los temas que abordó Fermat son los números amigos, para los cuales reinventó una regla del matemático Abu-l-Hasan Thabit ibn Qurra, en la cual sostiene que para cualquier número $n>1$ si $p=3\cdot 2^{n-1} -1$, $q= 3 \cdot 2^n -1$, $r=9 \cdot 2^{2n-1} -1$ y son los 3 números primos, entonces los números $2^n pq$ y $2^n r$ son números amigos. Esta regla nos sirve para hallar números amigos, pero no todo número amigo se obtiene a partir de esta regla. De hechos otros matemáticos como Descartes, Euler o Paganini encontraron algunos números que no cumplen dicha propiedad. Actualmente, con el uso de ordenadores se ha aumentado la lista de parejas de números amigos.

Entre sus aportaciones podemos destacar:

1. El pequeño teorema de Fermat, el cual aparece enunciado en una carta dirigida a Frénicle de Bessy en 1640. El teorema dice que para cualquier número entero $a$ y cualquier número primo $p$ se verifica que $p$ divide a $a^{p-1}-1$. Como tenía por costumbre, Fermat no aportó demostración alguna por temer ser demasiado larga. El que sí que la realizó fue Euler, en el año 1736. Además la generalizó 24 años más tarde. Posteriormente, con la aparición de Gauss se introdujo la aritmética modular, con la cual los cálculos se simplificaban muchos, ya que para calcular el resto de una suma o producto bastaba con calcular la suma o producto de los restos.
2. El método de factorización de Fermat. Este método se encuentra en una carta que el propio Fermat le envía a Mersenne $($padre franciscano que fue elegido como intermediario entre los matemáticos de la época$)$ sobre el año 1643. La idea de Fermat era que si un número es diferencia de cuadrados entonces se puede factorizar fácilmente como $n= x^2 - y^2 =(x+y) \cdot (x-y)$. El método comienza tomando un número entero candidato $x$ que sea mayor que $\sqrt{n}$. Después se calcula $x^2 - n$ y si se obtiene un cuadrado perfecto entonces hemos acabado, en caso contrario se vuelve a tomar otro candidato $x$, en este caso una unidad mayor que el anterior y se repite el proceso hasta encontrar dicho $x$.
3. El descubrimiento, junto con Blaise Pascal de la teoría de probabilidades. Fermat, en el año 1654 estableció correspondencia con Blaise Pascal, matemático, filósofo y escritor. En dicha correspondencia se establecieron las ideas claves sobre la teoría de probabilidades. Por este motivo se les considera como los padres de dicha teoría. El problema que se plantearon fue el de dos amigos que se encuentran jugando. Uno de ellos tiene que ganar 2 partidas para vencer y el otro, en cambio, tiene que ganar 3. Finalmente lo que se quiere saber es la probabilidad que tiene cada uno de vencer. Tanto Fermat como Pascal se dieron cuenta de que los casos que se planteaban no eran equiprobables. Además se puede apreciar como Fermat desarrolla implícitamente lo que se conoce como el teorema de las probabilidades totales.
4. El método del descenso infinito. Este método permite probar la imposibilidad de que ocurran algunos hechos. El método consiste en suponer que hemos encontrado un número entero como solución a nuestro problema, y a partir de ahí encontrar una solución más pequeña. Si continuamos con este procedimiento obtenemos infinitas soluciones menores pero como no existen infinitos números más pequeños que uno fijado entonces llegamos a que lo que suponíamos al principio es falso, o lo que es lo mismo, no existe solución entera para dicho problema.

Fermat, junto con Descartes fueron los primeros en poner los cimientos de la geometría analítica, ambos inspirados en las aportaciones de Viète. Fermat introdujo las coordenadas para el estudio de problemas de geometría $(1636)$, luego para resolverlos bastaba con hacer uso del álgebra. Aunque su trabajo lo realizó un año antes que Descartes, su publicación fue posterior, en el año 1679.

Se dedicó a estudiar el problema de los máximos y mínimos de una función. Su método se basaba en encontrar puntos en los que la tangente sea paralela al eje de abscisas. Para ello utilizó un método de Diofanto. También se dedicó a calcular el área encerrada entre una curva y una recta, inspirándose en los trabajos de Roverbal y Cavalieri pero de forma más rigurosa. Este método que utilizó Fermat es parecido al que actualmente se utiliza para calcular las integrales.

En cuanto a su relación con la teoría de números, Fermat se introdujo al estudio de esta teoría debido a una copia de la Aritmética de Diofanto que poseía, sobre la cual anotaba comentarios al margen en relación con los problemas planteados en el libro. Hoy día se le considera el padre de la teoría de números. Dos de sus aportaciones a esta teoría fueron:

Comprobar que los números primos de la forma $4n+1$ se pueden expresar de manera única como suma de cuadrados. La segunda es el último teorema de Fermat que aparece en el margen del libro que se mencionaba anteriormente. El teorema, según él, no lo demuestra por falta de espacio. Su enunciado es el siguiente:

La ecuación $x^n + y^n = z^n$ no posee soluciones enteras, salvo la trivial $(x=y=z=0)$, para cualquier $n>2$.

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Las aportaciones que se realizaron inicialmente fueron escasas. Se basaban en la demostración para un caso particular. Esta contribución la realizaron matemáticos como el propio Fermat, Euler, Legendre, Dirichlet. Otros matemáticos como Cauchy, Wantzel y Lamé propusieron demostraciones de dicho teorema. Finalmente en todas y cada una de ellas aparecía un error que la rechazaba como válida. Kummer hizo aportaciones al trabajo inicial de Lamé, introduciendo los números complejos ideales, los cuales se pueden factorizar de forma única. Estos números solventaban el error de la demostración de Lamé en algunos casos. Hasta el año 1983 apenas hubo avance, de hecho sólo se conocía la validez del teorema para $n<600$.

Los siguientes avances de importancia los realizó Taniyama, planteando conjeturas sobre curvas elípticas. Wiles probó unos ciertos casos particulares de una de estas conjeturas, llamada conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, a partir de los cuales se demostraba el último teorema de Fermat. La demostración la realizó en secreto, sobre todo en los primeros 6 años. En 1993 anunció la demostración del teorema, sin embargo, se encontró un error que le llevó a posponer su publicación. Tras otros dos años de aislamiento Wiles obtuvo la tan ansiada demostración.

Para saber más:

1. En el siguiente enlace el Último teorema de Fermat y su aparición en los Simpsons se habla sobre la relación que existe entre el teorema de Pitágoras y el Último teorema de Fermat, se habla sobre los números de Fermat, el Pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat para la suma de cuadrados, la aparición del Último teorema de Fermat en la serie los Simpsons y algunas conclusiones sacadas sobre el tema.
2. Puedes disfrutar con la película La habitación de Fermat, en la que se habla un poco sobre el tema.

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Referencias:

1. Fermat. El mago de los números. Autor: Blas Torrecillas Jover. Editorial: Nívola.
2. El Último teorema de Fermat y su aparición en los Simpsons.