Thales, su teorema y su canción

Introducción histórica

El origen de la geometría, como ocurre con otras muchas áreas de las matemáticas es desconocido debido a la ausencia de documentos que lo demuestren.

Existen indicios de que los Babilonios ya manejaban los conceptos de semejanza $(entorno\, a\, 1700\, a.C)$, pues existen tablillas cuneiformes con triángulos rectángulos divididos en otros menos en las que aparecen las medidas de sus lados. Sin embargo, parece lógico pensar que en el Antiguo Egipto, allá por el año $2500\, a.C$ las grandes pirámides se pudieron construir gracias al uso de conceptos como proporcionalidad y semejanza.

Thales de Mileto nació en la ciudad griega de donde proviene su nombre $(Mileto)$, en el año $624\, a.C$ y murió en el año $546\, a.C$.  Fue un filósofo, matemático y astrónomo griego. Era hábil en ingeniería y en geometría. Además se dedicó al comercio y tuvo mucho éxito como hombre de negocios. Lo que conocemos de él es a partir de otros autores, ya que no se conservan escritos suyos. Esto mismo ocurre en el desarrollo inicial de la matemática griega.

De Thales podemos destacar que predijo un eclipse solar que detuvo la batalla entre Alyattes y Cyaxares en el año $585\, a.C$. Además fue el fundador de una escuela de matemáticas y filosofía, llamada escuela jónica, en la cual aporta un enfoque diferente: racional y objetivo.

La leyenda atribuye a Thales el uso de sus conocimientos de geometría para medir las dimensiones de las pirámides de Egipto y calcular la distancia a la costa de barcos en alta mar.

Cálculo de la altura de un objeto mediante su sombra.

Se cuenta que estando Thales de Mileto en Egipto y conocida su fama de hombre sabio, se le retó a que calculase la altura de una de las pirámides. Para el ser humano siempre ha sido difícil medir y controlar las distancias verticales, ya que ene el momento que esas distancias superaban ligeramente su propia estatura se convertían en inaccesibles. Por este motivo, desde muy antiguo, el ser humano ha buscado e ideado estrategias que le permitieran determinar esas distancias inaccesibles. Según se ha transmitido desde la cultura griega, Thales clavó su bastón en la arena y midió la sombra que proyectaba, estableciendo una proporción entre la longitud del bastón y la sombra de éste con la altura de la pirámide y la sombra que proyectaba en ese momento. Observa la siguiente imagen.

El teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera r y s son cortadas por un haz de rectas paralelas, los segmentos que se determinan en ellas son proporcionales.

A partir de esto podemos llegar a encontrar que también se cumple que los segmentos que aparecen en r son proporcionales a los segmentos que aparecen en s.

Si aún todavía tienes dudas de lo que quiere decir este teorema te recomiendo que veas el siguiente vídeo en el que podrás escuchar una canción de Les Luthiers que habla sobre el teorema de Thales.

Ahora puedes ver que se cumple el teorema de Thales mediante un pequeño programita en Geogebra, sigue las instrucciones y comprueba que la relación entre los segmentos se mantiene.

1. Mueve el punto A para ver que los segmentos que aparecen en r y s son proporcionales. Observa que se cumple que $$ \dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{B'C'}}$$
2. Mueve ahora también los puntos B y C y observa como además de la proporción anterior se cumple también $$ \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}=\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OA'}} $$

El recíproco del Teorema de Thales también se cumple:
Si los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ son proporcionales a $\overline{A'B'}$ y $\overline{B'C'}$ y las rectas a y b son paralelas, entonces la recta c es paralela a ambas.

@antonio_arjona7