¿Eres capaz de alcanzar a una tortuga que parte con ventaja? La paradoja de Zenón

Zenón de Elea fue un filósofo griego nacido en Elea entre los años 490 y 430 a. C. Es autor de la paradoja que lleva su nombre. Sin embargo, ésta no es una paradoja sino más bien un método para obtener la fórmula que determina el valor de las series geométricas. Una serie geométrica es una suma de infinitos términos cuyo primer término es un número real $a$ y cada término posterior se obtiene del anterior multiplicado por una cierta razón $r\in\mathbb{R}$ $$a_n=r \cdot a_{n-1}\quad  \forall\,n\in\mathbb{N}$$ Así una serie geométrica $$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n= a + r \cdot a + r^2 \cdot a + r^3 \cdot a + \dots$$

Aquiles y la tortuga

Una tortuga desafía al famoso corredor Aquiles a una carrera y afirma que si Aquiles le deja algo de ventaja nunca podrá alcanzarla.

Supongamos que la tortuga parte con 10 metros de ventaja y que Aquiles es 10 veces más rápido que la tortuga. Mientras Aquiles recorre los 10 metros la tortuga ha avanzado un metro. Cuando Aquiles recorre 1 metro la tortuga ha avanzado $\frac{1}{10}$ metros. Posteriormente cuando Aquiles recorre $\frac{1}{10}$ metros la tortuga ha avanzado $\frac{1}{100}$ metros y así sucesivamente. 

Figura 1: Distancia recorrida por Aquiles y la tortuga.

Como se observa en las figuras 1 y 2 la distancia entre Aquiles y la tortuga tiende a empequeñecerse cada vez más aunque siempre existe dicha distancia entre ellos.

Figura 2: Distancia total recorrida por Aquiles y la tortuga.

Luego para que Aquiles alcance a la tortuga debe recorrer 

$$10+\frac{10}{10}+ \frac{10}{100}+ \frac{10}{1000}+\frac{10}{10000}+\dots \,\,metros$$

y como esta es una suma infinita entonces Zenón razona que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Por intuición sabemos que Aquiles alcanzará a la tortuga en un tiempo $t$. Supondremos ahora que la velocidad de la tortuga es de $1\,\, m/s$ y como hemos dicho anteriormente que la velocidad de Aquiles es 10 veces mayor que la de la tortuga, la velocidad de Aquiles será $10\,\, m/s$. 

Para que Aquiles alcance a la tortuga en dicho tiempo es necesario que recorra 10 metros más que la tortuga, es decir 

$$v \cdot t = 10 \,\,metros + \frac{1}{10}\cdot v \cdot t$$

donde $v=10\,\,m/s$ es la velocidad de Aquiles y $\frac{1}{10}\cdot v=\frac{1}{10}\cdot 10=1\,m/s$ es la velocidad de la tortuga. Despejando tenemos 

$$t = \frac{10}{v\cdot (1-\frac{1}{10})}=\frac{10}{9}=1'1111\dots segundos$$

Así, para que Aquiles alcance a la tortuga debe recorrer 

$$v \cdot t = 10 \,m/s \cdot 1'1111\dots s= 11'1111\dots \,\,metros$$

Lo que Zenón nos quiere explicar es que nunca vamos a poder calcular el lugar exacto en el que se encontrarán, ya que es un número con infinitos decimales $11'1111\dots$.  Sin embargo, hemos visto que cuando pasa algo más de un segundo Aquiles ya ha pasado a la tortuga, de hecho en el segundo $1'1111\dots$ la alcanzará. Esto es posible porque la suma infinita da un valor finito. 

$$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n= \frac{a}{1-r}$$

Este razonamiento se cumple cuando $|r|<1$. En nuestro caso $r=\dfrac{1}{10}<1$ y $a=10$.

Como consecuencia la paradoja de Zenón da el valor de la serie geométrica.

Este razonamiento se puede generalizar tomando $a$ una distancia positiva cualquiera, $v$ la velocidad de Aquiles y $0<r<1$ la relación que existe entre la velocidad de la tortuga $v_T$ y la velocidad de Aquiles $v_A$, es decir, $$r=\frac{v_T}{v_A}$$ y se puede ver en el siguiente vídeo.

                                                                     @antonio_arjona7

El hotel de Hilbert

¿Estas cansado de escuchar que el hotel que buscas para las vacaciones tiene overbooking? ¿No encuentras hotel en la fecha en la que estamos?
¡No te preocupes y ven al Hotel de Hilbert! El lugar donde siempre hay alojamiento para uno más. Y quien dice uno, dice todos los que hagan falta.

Imágen sacada de: tras la cola de la rata

El Hotel de Hilbert piensa en ti, por ello cuenta con infinitas habitaciones para que tú, tu familia y/o tus amigos podáis tener unas vacaciones a la altura.

¿Cómo puede ser que después de llenarse el hotel pueda el recepcionista alojar a más personas?

La respuesta es sencilla, basta conocer un poco de matemáticas y el comportamiento del infinito.

Ahora veremos como resuelve el recepcionista del Hotel de Hilbert el problema del alojamiento.

En primer lugar tenemos que decir que todo cliente cuando reserva su habitación en este hotel adquiere el compromiso de tener que cambiarse de habitación cuando el recepcionista lo crea conveniente. Como dato informativo, las habitaciones están ordenadas de forma creciente empezando por la habitación número 1.

Te informamos de antemano que el hotel ya está completo pero tiene un recepcionista muy eficiente, y garantiza alojamiento para cuantas personas lleguen. Dependiendo de cuantas personas te acompañen el recepcionista deberá realizar algunos cambios en la distribución de las habitaciones. Por ello, consideraremos varios casos:

• Si quieres descansar sólo o vienes acompañado de algunos amigos solo tienes que decirle al recepcionista cuantas habitaciones necesitas. Supongamos que necesitas 3 habitaciones. El recepcionista para encontraros una habitación disponible le dirá a sus clientes que miren el número de habitación que tienen y le sumen 3, obteniendo así el número de habitación al que se tendrán que desplazar.                                                   

                                                 Habitaciones              Habitaciones 

                                                 antiguas de                nuevas de

                                                 los clientes                 los clientes

          Así, el recepcionista habría dejado libre las 3 primeras habitaciones para que tú y tus amigos os podáis alojar.     

          Nota: No hay últimas habitaciones. Por eso podemos siempre desplazar a los clientes a dichas habitaciones.

• Si eres organizador de excursiones y vienes con un grupo infinito. El recepcionista les dirá a sus clientes que multipliquen por 2 el número de su habitación y se desplacen a ella, ocupando así las habitaciones pares y dejando libres las impares para el nuevo grupo de turistas.

                                                 Habitaciones              Habitaciones 

                                                 antiguas de                nuevas de

                                                 los clientes                 los clientes

• Si eres organizador de excursiones y has organizado infinitas excursiones con infinitos turistas cada una, ¡también se os puede hacer un hueco en este hotel! Para ello el recepcionista debe comunicarle a sus clientes que si su número de habitación es un número primo o alguna potencia de un número primo entonces deben elevar 2 al número de habitación y cambiarse a esa habitación. Los otros clientes deberán permanecer en sus habitaciones.

                                                 Habitaciones              Habitaciones 

                                                 antiguas de                nuevas de

                                                 los clientes                 los clientes

Por otro lado el recepcionista asignará un número primo $p$ distinto de 2 a cada excursión y un número impar $t$ a cada turista. Posteriormente cada turista deberá elevar al número de su excursión el número que le han asociado en dicha excursión, así un turista $t$ en una excursión $p$ le corresponderá la habitación $p^t$.                                   

Como el conjunto de los números impares y el de los números primos distintos de 2 son infinitos entonces se puede alojar infinitos grupos de infinitos huéspedes dentro de un hotel con únicamente infinitas habitaciones.

Observación: Hemos dejado habitaciones libres por si nos llegara otras infinitas excursiones con infinitos turistas cada una. Las habitaciones son aquellas cuyo número es $p^{2n}$ donde $p$ es un número primo distinto de 2 y $n$ un número natural. Así, bastaría asociar un número $p$ distinto de 2 a cada excursión y un número par $2n$ a cada turista.  

Nota: Un número primo es un número entero $p>1$ que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

¿Te atreves a vivir esta experiencia?

PD: Aunque no exista un Hotel en la Tierra tan acogedor como éste, eso no te impide viajar a él con tu imaginación.

Se puede consultar wikipedia para ver esta paradoja http://es.wikipedia.org/wiki/El_hotel_infinito_de_Hilbert
Además, podemos ver el siguiente vídeo del Hotel de Hilbert donde se explica esto con dibujos.

Para saber más, aquí tienes otras paradojas:

1. ¿Eres capaz de alcanzar a una tortuga que parte con ventaja? La paradoja de Zenón.
2. La paradoja del mentiroso, frases autorreferentes y otras paradojas.
3. El dilema del cocodrilo. Paradojas.

                                                          @antonio_arjona7

La conjetura de Goldbach

Cuando nos disponemos a "jugar" con los números podemos encontrar muchas relaciones asombrosas entre ellos. Por desgracia la mayor parte de ellas están ya estudiadas y se conoce la solución. Sin embargo, puede darse el caso en que no hayan sido estudiadas o que lo hayan sido pero se desconozca la solución. A estos problemas se les denominan "problemas abiertos" y la conjetura de Goldbach es uno de ellos.

Christian Goldbach es un matemático e historiador prusiano del siglo XVIII $1690-1764$. Es conocido principalmente por la conjetura que lleva su nombre conjetura de Goldbach o conjetura fuerte de Goldbach. Dicha conjetura se encontró en una carta que envió Goldbach a Euler en 1742. Ninguno de ellos llegó a resolverlo y en estos casi 300 años los matemáticos más brillantes han tratado de hacerlo aunque sin éxito, por ello que muchos lo consideren como el problema más difícil de la teoría de números o incluso de las matemáticas.

Para comprender el problema es necesario conocer la definición de número primo. Un número primo es un entero $p>1$ que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. El teorema de Euclides demuestra que la cantidad de números primos es infinita. Los primeros números primos menores que 40 son:
$$2, \,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,\dots$$

Conjetura de Goldbach:

Todo número par mayor que 2 se puede representar como suma de dos números primos. 

Veamos ahora varios ejemplos:

La conjetura dice que existe al menos una representación. Como veremos en los siguientes ejemplos, muchos de ellos se pueden representar de muchas formas distintas.

La conjetura parece cierta, de hecho hasta el momento se ha comprobado para números menores que $10^{18}$. Sin embargo, debemos ser cautos y mantener la paciencia, ya que podría existir un contraejemplo demasiado grande que los ordenadores de hoy en día no hayan sido capaces de calcularlo.
Nota: Un contraejemplo es un ejemplo que no cumple lo que se plantea en el problema.
Goldbach formuló otra conjetura, la llamada conjetura débil de Goldbach.

Conjetura débil de Goldbach

Todo número impar mayor que 5 se puede representar como suma de tres números primos.

Por ejemplo:

Se llama conjetura débil porque si se probara la conjetura fuerte automáticamente se cumpliría la débil. Como no se ha probado la conjetura fuerte, los matemáticos se han dedicado también a probar la débil, ya que en principio sería más fácil de resolver. De hecho lo ha sido, ya que en el 2013 el matemático peruano Harald Helfgott lo ha conseguido. Después de esto podemos pensar que en un tiempo no muy lejano llegue a resolverse.

Este problema aparece descrito en el libro El tío Petros y la Conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis y en la película La habitación de Fermat $2007$. 

Nota anecdótica: La editorial Faber and Faber para promocionar el libro El tío Petros y la Conjetura de Goldbach ofreció durante 2 años, un millón de dólares a quien demostrara si era verdadera o falsa la conjetura.

Si estáis pensando en resolver la conjetura para ganar dicho jugoso premio os informo que el plazo acabo en 2002 así que vais un poco tarde. Sin embargo, no es poco premio la satisfacción que esto conlleva. Además, se perduraría a través del tiempo.

                                                   @antonio_arjona7

La sucesión de Fibonacci y la naturaleza.

Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci $(1170-1250)$ fue un matemático italiano del siglo XIII. Es famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo, es decir, un sistema de numeración en el que cada dígito $(0-9)$ posee un valor dependiendo de la posición en la que se encuentre y por introducir una sucesión muy interesante que se llama <<sucesión de Fibonacci>>. Podemos destacar también que es autor del libro Liber Abaci $1202$.

La sucesión de Fibonacci proporciona solución a un problema de cría de conejos.

Tenemos una pareja de conejos en un lugar cerrado $(sin \,que \,entren \,otros\, conejos\, del \,exterior)$. Supondremos que tanto la pareja de conejos como sus crías no se mueren y queremos hallar el número de conejos que tendremos al final del año a partir de esa pareja de conejos. Además, debemos de saber que una pareja de conejos no puede cruzarse $(aparearse)$ hasta alcanzar su primer mes de vida, ya que es cuando llega a ser adulta. Por último, debemos saber que una pareja adulta al mes siguiente crea una nueva pareja de conejos bebes $(conejo\, y \,coneja)$.

Nota: Los conejos no se mueren.

Para ver mejor este hecho, daremos la siguiente tabla.

Como se observa en la tabla, partimos de una pareja de conejos bebes. En el primer mes se cruzan y por tanto sólo tenemos una pareja, en el siguiente mes obtenemos 2 parejas ya que la pareja adulta ha creado una nueva pareja de conejos bebes. En el tercer mes la pareja adulta crea otra nueva pareja de conejos bebes y así obtenemos 2 parejas de conejos adultos y una de bebes. Siguiendo este razonamiento se obtienen los números que aparecen en la tabla.

http://mateselaios3.blogspot.com.es/2011/10/la-sucesion-de-fibonacci-y-el-problema.html

Así, obtenemos que la sucesión que determina el número de parejas de conejos es la llamada sucesión de Fibonacci

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,  \dots$

determina la cantidad de parejas de conejos que obtenemos en cada mes $(partiendo\, del \,mes \,0)$. Se puede ver que el número de parejas de conejos adultos en un mes cualquiera coincide con el número de parejas de conejos en el mes anterior y que el número de conejos bebes coincide con el número de parejas de conejos 2 meses antes. Sin embargo, la observación más importante es que el número de parejas de conejos en un mes cualquiera es igual a la suma de las parejas de conejos de los 2 meses anteriores.

Así, considerando $a_{n}$ el número de parejas de conejos en el mes número $n+1$ llegamos a que los términos de la sucesión de Fibonacci vienen determinados por la siguiente fórmula:
$$a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}\quad \forall n\in\mathbb{N}$$
donde $a_1=1$ y $a_2=1$, es decir, un término se genera con la suma de los 2 anteriores. Veamos algunos ejemplos:

La sucesión de Fibonacci es uno de los temas más sorprendentes de las matemáticas ya que aporta una multitud de propiedades curiosas. Algunas de dichas propiedades aparecen en la naturaleza como por ejemplo:

1. El número de los pétalos de las flores: 3 como los lirios, 5 como las rosas silvestres, 8 como las peonias, 13 como las caléndulas, 21 como la flor de la achicoria, 34 como muchas margaritas, $\dots$). Hay algunas excepciones que tienen 4, 11, 29, las cuales siguen otra sucesión que se obtiene de forma semejante a la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión se llama sucesión de Lucas $$1,\,3,\,4,\,7,\,11,\,18,\,29,\,\dots$$ que cumple la misma fórmula que la sucesión de Fibonacci, la única diferencia es que toma como $a_2=3$.                                                                                                                                                                                                                       www.educa2.madrid.org
2. La distribución de las semillas del girasol.
3. Brazos en espiral de las galaxias y los huracanes.
4. Las ramas de los árboles y las hojas de las plantas que se distribuyen buscando la máxima luz para cada una de ellas. Por ello nacen alrededor del tallo pero ninguna lo hace encima de la otra.

Otros ejemplos están basados en el número áureo $\varphi$ que aparecen en esculturas como el David de Miguel Ángel, construcciones como el Partenón y pinturas como Las Meninas de Velázquez, la Gioconda o el hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, ya que este número está asociado a la belleza. Además aparecen en el ser humano y en los animales:

         
    darioesdessagunto.blogspot.com                             www.esferatic.com

• Relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
• Relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
• Relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
• Relación entre las articulaciones de las manos y los pies.
• Relación entre las divisiones vertebrales.

Ahora veremos cuanto vale el número de oro o número áureo. 

2 números están en proporción áurea si se cumple que $$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$ Tomando $\varphi=\frac{a}{b}$ tenemos la ecuación $$1+ \frac{1}{\varphi}=\varphi$$ Al multiplicar por $\varphi$ y pasando los términos a un lado obtenemos que $$\varphi^2 - \varphi -1 =0$$

Así, la solución positiva de la ecuación $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se le llama número áureo y es equivalente a la relación $\frac{a}{b}$.

Cuando dividimos un término de la sucesión de Fibonacci por el anterior y seguimos haciendo esto con términos cada vez más grandes podemos ver como nos aproximamos a dicho número áureo.

Así $$\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\varphi=1.6180339887\dots$$

Otras fórmulas interesantes son:

• Los términos impares de la sucesión están determinados por la suma de los cuadrados de 2 términos consecutivos. 

                                                     

         Por ejemplo:

         

• Los términos pares de la sucesión están determinados por la resta de los cuadrados de 2 términos. 

          para todo $n\geq 2$.

         

          Por ejemplo:

• Al sumar las áreas de los rectángulos cuyos lados son 2 términos consecutivos de la sucesión obtenemos 2 casos:

1. Si el número de rectángulos es impar, la suma de las áreas es igual a la del cuadrado cuyo lado es el siguiente término, es decir:

  $$\sum_{i=1}^{2n-1} a_i \cdot a_{i+1} = a_{2n}^2 \quad \forall \,n\in \mathbb{N}$$
    Por ejemplo: $$1\cdot 1 + 1\cdot 2 +2\cdot 3 +3\cdot 5 +5\cdot 8 +8\cdot 13 + 13 \cdot 21= 441 = 21^2$$
    2. Si el número de rectángulos es par, la suma de las áreas es igual a 1 más el área del cuadrado cuyo lado es el siguiente término, es decir:

$$1 + \sum_{i=1}^{2n} a_i \cdot a_{i+1} = a_{2n+1}^2 \quad \forall \,n\in \mathbb{N}$$
Por ejemplo: $$1+ 1\cdot 1 + 1\cdot 2 +2\cdot 3 +3\cdot 5 +5\cdot 8 +8\cdot 13 = 169 = 13^2$$

• Al unir rectángulos cuyos lados son términos correlativos de la sucesión de Fibonacci $a_n$ y $a_{n+1}$, obtenemos la llamada espiral de Fibonacci. Además, el área de cada rectángulo de lados $a_n$ y $a_{n+1}$ es suma de las áreas de los cuadrados de lados $a_i$ con $1\leq i \leq n$, es decir:   $$\sum_{i=1}^{n} a_i^2  = a_{n-1} \cdot a_n$$

•  $a_{n-1} \cdot a_{n+1} = a_n^2 \pm 1$

           El valor positivo lo tomará cuando $n$ es par y el valor negativo cuando $n$ es impar.

• La suma de 10 términos consecutivos de la sucesión es igual a 7 veces el undécimo término.
• $a_{n+2}^4 - a_{n+1}^4 = a_n \cdot a_{n+3} \cdot a_{2n-3} \quad \forall\,n\geq 2$
• Los términos de la sucesión de Fibonacci aparecen también al sumar los términos de las diagonales secundarias del triángulo de Tartaglia o Pascal, tal y como se observa en la siguiente figura.
  

Este tema es demasiado extenso, así que animo al lector a que busque más curiosidades que le puedan llegar a asombrar, así como espero que éstas también lo hayan hecho. Por otro lado, os propongo un tema relacionado, que no puede ser otro que El número áureo y la proporción áurea. Este tema posee también muchas curiosidades, ya que aparece en muchos ámbitos como pueden ser: arquitectura, pintura, escultura, música, en el ser humano, etcétera.

En los siguientes vídeos podemos ver las relaciones de dicha sucesión con la naturaleza.
https://www.youtube.com/watch?v=6vT1YMd9gLw
https://www.youtube.com/watch?v=6vT1YMd9gLw

                                                   @antonio_arjona7