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sábado, 27 de septiembre de 2014

La leyenda de Sissa, el inventor del ajedrez

Cuenta la leyenda que el rey indio Shirham perdió a su hijo en una batalla. Sus súbditos intentaron animarle de todas las formas posibles, las cuales fueron vanas. Un día se presentó ante él el inventor del ajedrez Sissa con la idea de entretenerle y maravillarle con su juego. 

El juego constaba de un tablero 8 x 8 como el que aparece en la figura de la derecha. Como podemos ver consta de casillas blancas y negras que se alternan. Cada jugador posee 8 peones, 2 torres, 2 caballos, 2 alfiles, una reina y un rey, uno posee fichas de color blanco y el otro de color negro. El juego consiste en matar al rey del otro jugador antes de que maten al tuyo. Para saber más sobre el ajedrez pincha aquí.

                                 Piezas de ajedrez

El rey tras aprenderlo jugó y jugó. Mientras jugaba dejaba de pensar sobre la pérdida de su hijo. Como el rey estaba tan contento por el regalo quiso concederle a Sissa lo que más deseara.
Sissa le dijo que no pero ante la insistencia del rey aceptó. Le pidió un grano de trigo para la primera casilla, 2 para la segunda, 4 para la tercera, 8 para la cuarta, 16 para la quinta, y así sucesivamente hasta llegar a la casilla 64, es decir, para cada casilla el doble de la casilla anterior. Por último el rey debía entregarle todo ese grano. 

El rey accedió de inmediato pensando que lo que Sissa pedía lo podía cumplir con facilidad. Al fin y al cabo un grano tampoco es que valga mucho, y pensaría que la suma de todos no sería tan alta. 

El rey pidió que le calcularan cuantos granos de trigo eran exactamente. Recuerda que tenemos que sumar $$ 1+ 2 + 4 + 8 +16 + \dots + 2^{62} + 2^{63} $$ es decir $$ 2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{62} + 2^{63} $$ El resultado era $18.446.744.073.709.551.615$ granos de trigo. Es hasta difícil de leer este número, por lo menos te cansas si lo lees entero. Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo. 



Cuando el rey se enteró que en su reino no había suficiente trigo para pagarle decidió matarlo, ya que lo consideró como una ofensa hacia su persona.

¿Eres capaz de calcular dicha suma fácilmente sin tener que calcular cuanto vale cada sumando?

Veremos ahora como calcularlo. Vamos a probar que la suma es $$ 1+ 2 + 4 + \dots + 2^{63} = 2^{64}-1 $$

Denotaremos por $T_n$ a la cantidad de granos que hay hasta la casilla $n$. Probaremos por inducción que $T_n = 2^{n} -1$.
Para ello veremos que se cumple para $n=1$ $$T_1= 1 = 2^1 -1$$ Ahora supondremos cierto el resultado hasta $n$ y probaremos el resultado para $n+1$, es decir, supondremos que $T_{n}=2^0+2^1 + \dots + 2^{n-1}=2^{n} -1 $, este dato se llama Hipótesis de inducción, y probaremos que $T_{n+1}=2^0 + 2^1 + \dots + 2^{n} = 2^{n+1}-1$ para cualquier $n$ natural.
$$ T_{n+1} = 2^0+2^1+\dots +2^{n-1}+ 2^{n}=2^{n}-1+2^{n}= 2\cdot 2^n -1=2^{n+1}-1$$ y así vemos como queda demostrado la igualdad que queríamos.

Nota: La segunda igualdad se obtiene aplicando la Hipótesis de inducción. 

Así, en el caso particular de $n=64$. Tenemos que $$ T_{64} = 2^0 + 2^1 + \dots + \dots + 2^{63}= 2^{64}-1 $$

Como $2^{64}=18.446.744.073.709.551.616$, entonces $T_{64} = 18.446.744.073.709.551.615$. 

@antonio_arjona7

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