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miércoles, 16 de julio de 2014

La conjetura de Goldbach

Cuando nos disponemos a "jugar" con los números podemos encontrar muchas relaciones asombrosas entre ellos. Por desgracia la mayor parte de ellas están ya estudiadas y se conoce la solución. Sin embargo, puede darse el caso en que no hayan sido estudiadas o que lo hayan sido pero se desconozca la solución. A estos problemas se les denominan "problemas abiertos" y la conjetura de Goldbach es uno de ellos.

Christian Goldbach es un matemático e historiador prusiano del siglo XVIII (1690-1764). Es conocido principalmente por la conjetura que lleva su nombre conjetura de Goldbach o conjetura fuerte de Goldbach. Dicha conjetura se encontró en una carta que envió Goldbach a Euler en 1742. Ninguno de ellos llegó a resolverlo y en estos casi 300 años los matemáticos más brillantes han tratado de hacerlo aunque sin éxito, por ello que muchos lo consideren como el problema más difícil de la teoría de números o incluso de las matemáticas.

Para comprender el problema es necesario conocer la definición de número primo. Un número primo es un entero $p>1$ que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. El teorema de Euclides demuestra que la cantidad de números primos es infinita. Los primeros números primos menores que 40 son:
$$  2, \,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,\dots$$
Conjetura de Goldbach:

Todo número par mayor que 2 se puede representar como suma de dos números primos. 

Veamos ahora varios ejemplos:


La conjetura dice que existe al menos una representación. Como veremos en los siguientes ejemplos, muchos de ellos se pueden representar de muchas formas distintas.


La conjetura parece cierta, de hecho hasta el momento se ha comprobado para números menores que $10^{18}$. Sin embargo, debemos ser cautos y mantener la paciencia, ya que podría existir un contraejemplo demasiado grande que los ordenadores de hoy en día no hayan sido capaces de calcularlo.
Nota: Un contraejemplo es un ejemplo que no cumple lo que se plantea en el problema.
Goldbach formuló otra conjetura, la llamada conjetura débil de Goldbach.

Conjetura débil de Goldbach

Todo número impar mayor que 5 se puede representar como suma de tres números primos.

Por ejemplo:


Se llama conjetura débil porque si se probara la conjetura fuerte automáticamente se cumpliría la débil. Como no se ha probado la conjetura fuerte, los matemáticos se han dedicado también a probar la débil, ya que en principio sería más fácil de resolver. De hecho lo ha sido, ya que en el 2013 el matemático peruano Harald Helfgott lo ha conseguido. Después de esto podemos pensar que en un tiempo no muy lejano llegue a resolverse.

Este problema aparece descrito en el libro El tío Petros y la Conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis y en la película La habitación de Fermat (2007). 

Nota anecdótica: La editorial Faber and Faber para promocionar el libro El tío Petros y la Conjetura de Goldbach ofreció durante 2 años, un millón de dólares a quien demostrara si era verdadera o falsa la conjetura.

Si estáis pensando en resolver la conjetura para ganar dicho jugoso premio os informo que el plazo acabo en 2002 así que vais un poco tarde. Sin embargo, no es poco premio la satisfacción que esto conlleva. Además, se perduraría a través del tiempo.

                                                   @antonio_arjona7

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