@antonio_arjona7
lunes, 26 de enero de 2015
miércoles, 21 de enero de 2015
La lotería
Juan se encontraba durmiendo cuando de repente se despertó sobresaltado. Había soñado que le tocaba el gordo de la lotería de navidad.
Como el sueño le pareció tan real, quiso apuntar dicho número para comprar al día siguiente unos décimos para él y su familia. De la euforia del sueño sólo se acordaba de la primera cifra del número. Sabía que empezaba por 0. Sin embargo, como el décimo tiene 5 cifras del 0-9 y sólo conocemos una, tendría 10.000 números posibles para adivinarlo.
Juan se encontraba desconcertado, no sabía exactamente qué número había comprado en su sueño. Sin embargo, recordó unas pautas que él siempre sigue antes de comprar un décimo. Elige aquellos números cuyas cifras sean todas distintas, la suma de ellas sea 15 y además sea un número par.
Él recordaba que antes de comprar su décimo vio otros 2 números entre los cuales dudó si comprarlos. Estos eran el 03821 y el 07412. Decidió no elegirlos ya que no cumplían que la suma de sus cifras fuera 15, además el primero de ellos era impar. El primero de estos números poseía 3 cifras comunes con el número que eligió finalmente y el segundo poseía 4, si bien solo la primera de ellas coincidía en posición con las de su décimo.
Por último, recordó que en el establecimiento donde compró el décimo había otro número que cumplía todas estas pautas. El lotero le dijo "ante la duda elige el más grande".
¿Puedes ayudar a Juan a encontrar dicho número?
Como el sueño le pareció tan real, quiso apuntar dicho número para comprar al día siguiente unos décimos para él y su familia. De la euforia del sueño sólo se acordaba de la primera cifra del número. Sabía que empezaba por 0. Sin embargo, como el décimo tiene 5 cifras del 0-9 y sólo conocemos una, tendría 10.000 números posibles para adivinarlo.
Juan se encontraba desconcertado, no sabía exactamente qué número había comprado en su sueño. Sin embargo, recordó unas pautas que él siempre sigue antes de comprar un décimo. Elige aquellos números cuyas cifras sean todas distintas, la suma de ellas sea 15 y además sea un número par.
Él recordaba que antes de comprar su décimo vio otros 2 números entre los cuales dudó si comprarlos. Estos eran el 03821 y el 07412. Decidió no elegirlos ya que no cumplían que la suma de sus cifras fuera 15, además el primero de ellos era impar. El primero de estos números poseía 3 cifras comunes con el número que eligió finalmente y el segundo poseía 4, si bien solo la primera de ellas coincidía en posición con las de su décimo.
Por último, recordó que en el establecimiento donde compró el décimo había otro número que cumplía todas estas pautas. El lotero le dijo "ante la duda elige el más grande".
¿Puedes ayudar a Juan a encontrar dicho número?
@antonio_arjona7
sábado, 17 de enero de 2015
martes, 13 de enero de 2015
¿Qué orden siguen los siguientes números?
¿Qué orden siguen los números del 1-9 en la siguiente distribución?
5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3, 1.
@antonio_arjona7
martes, 23 de diciembre de 2014
¿Cuántos cuadrados puedes encontrar? ¿Y triángulos?
¿Cuántos cuadrados ves en la siguiente figura? ¿Y triángulos?
@antonio_arjona7
lunes, 15 de diciembre de 2014
Descubriendo la parte trasera de nuestro DNI.
Muchas veces hemos escuchado que en la parte posterior del DNI, el número que aparece a la derecha y abajo indica el número de personas que coinciden contigo en nombre y apellidos. Así que si tu te llamas Margarita Flor Del Campo y el número que encuentras en el DNI es 9. ¿No es un poco raro que 10 personas se llamen así? En esta entrada descubrirás que todo lo que te han contado es falso y además te explicaremos el porqué. De hecho te explicaremos que significan todos y cada uno de los números y letras que aparecen.
Partiremos de un DNI cualquiera, por cierto ¿Sabes como se calcula la letra del DNI? pincha aquí para verlo.
¿Qué significan las letras y los números que aparecen en la parte inferior $($las 3 últimas líneas$)$?
Nota: Si el nombre es compuesto se añade entre la primera parte y la segunda parte otro símbolo $(<)$ para separarlos, por ejemplo, JOSE<ANTONIO.
Podéis pensar que me he saltado por explicar algunos números. En efecto, pero lo he hecho porque estos números son los más difíciles de interpretar. Estos dígitos se les denomina dígitos de control. ¿Por qué se llaman así? Se llaman así por la función que poseen, que no es más que controlar o detectar errores en la transmisión de los datos. Estos dígitos se calculan a partir de los datos que ya conocemos. Veamos ahora como se calculan dichos números, en la foto del DNI son los números que aparecen en los cuadros morados, es decir, el 0, 1, 3, 1.
El primer dígito de control se calcula a partir del número de serie del soporte, en nuestro caso AAA000000. Si nos fijamos el número de serie del soporte posee 3 letras. Como el dígito de control es un número necesitamos identificar cada letra con un número. Podríamos pensar que como tenemos 27 letras en nuestro alfabeto cada una de ellas podría aparecer en las letras del número de serie del soporte. Esto no es así, debido a que la letra Ñ no se usa en muchos países y por ello se descarta. Para enumerar las 26 letras podemos pensar que se podría hacer cogiendo los números comprendidos entre el 1 y el 26 o entre el 0 y el 25. En realidad es muy parecido al segundo caso $(0-25)$ pero en lugar de empezar en el 0 se empieza en el 10 y lo mismo ocurre en el final, que en lugar de terminar en el número 25 se termina en el 35, luego la distribución quedaría como sigue:
En nuestro caso, como solo tenemos la letra A cambiaremos cada A por su valor, es decir, 10. Y así obtendremos el número 10 10 10 0 0 0 0 0 0. Como ves hemos separado cada número para así no confundirnos. Posteriormente tomaremos bloques de 3 números: El primer bloque será 10 10 10, el segundo 0 0 0 y el tercero 0 0 0. Cada bloque lo multiplicaremos verticalmente por el número 731. Como resultado de la multiplicación obtendremos 3 números en cada bloque, en total 9 números. Después sumaremos los 9 números y nos quedaremos con la última cifra del resultado de la suma.
Partiremos de un DNI cualquiera, por cierto ¿Sabes como se calcula la letra del DNI? pincha aquí para verlo.
IDESPAAA0000000<84215164C<<<<<<
7205011M1601013ESP<<<<<<<<<<<<1
APELLIDO1<APELLIDO2<NOMBRE<<<
- Tipo de documento.
- Nación.
- Número de serie del soporte.
- Dígito de control del campo 3.
- Número del DNI.
- Fecha de nacimiento $(AAMMDD)$.
- Dígito de control del campo 6.
- Sexo $(M/F)$.
- Fecha de caducidad del DNI $(AAMMDD)$.
- Dígito de control del campo 9.
- Nacionalidad.
- Dígito de control de los campos 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10 concatenados.
- Nombre $(\,Apellido\,\, 1\,\, < \,\, Apellido\,\, 2\,\, < \,\, Nombre\,)$.
El tipo de documento es de IDENTIDAD, la nación es ESPAÑA, el número de serie del soporte es AAA-000000. El número de nuestro DNI es 84215164-C. La fecha de nacimiento es el 1 de mayo de 1972, así si lo expresamos de la forma $(AAMMDD)$, donde AA son las 2 últimas cifras del año, MM el mes y DD el día, queda 720501. El sexo es MASCULINO. La fecha de caducidad del DNI es el 1 de enero de 2016 y expresándolo de la forma $(AAMMDD)$ queda 160101. La nacionalidad es ESPAÑOLA. Y por último el nombre es Apellido1 Apellido2 Nombre.
Nota: Si el nombre es compuesto se añade entre la primera parte y la segunda parte otro símbolo $(<)$ para separarlos, por ejemplo, JOSE<ANTONIO.
Podéis pensar que me he saltado por explicar algunos números. En efecto, pero lo he hecho porque estos números son los más difíciles de interpretar. Estos dígitos se les denomina dígitos de control. ¿Por qué se llaman así? Se llaman así por la función que poseen, que no es más que controlar o detectar errores en la transmisión de los datos. Estos dígitos se calculan a partir de los datos que ya conocemos. Veamos ahora como se calculan dichos números, en la foto del DNI son los números que aparecen en los cuadros morados, es decir, el 0, 1, 3, 1.
El primer dígito de control se calcula a partir del número de serie del soporte, en nuestro caso AAA000000. Si nos fijamos el número de serie del soporte posee 3 letras. Como el dígito de control es un número necesitamos identificar cada letra con un número. Podríamos pensar que como tenemos 27 letras en nuestro alfabeto cada una de ellas podría aparecer en las letras del número de serie del soporte. Esto no es así, debido a que la letra Ñ no se usa en muchos países y por ello se descarta. Para enumerar las 26 letras podemos pensar que se podría hacer cogiendo los números comprendidos entre el 1 y el 26 o entre el 0 y el 25. En realidad es muy parecido al segundo caso $(0-25)$ pero en lugar de empezar en el 0 se empieza en el 10 y lo mismo ocurre en el final, que en lugar de terminar en el número 25 se termina en el 35, luego la distribución quedaría como sigue:
A
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B
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C
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D
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E
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F
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G
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H
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I
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J
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K
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L
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M
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10
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11
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12
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13
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14
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15
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16
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17
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18
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19
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20
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21
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22
|
N
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O
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P
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Q
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R
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S
|
T
|
U
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V
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W
|
X
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Y
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Z
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23
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24
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25
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26
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27
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28
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29
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30
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31
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32
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33
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34
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35
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En nuestro caso, como solo tenemos la letra A cambiaremos cada A por su valor, es decir, 10. Y así obtendremos el número 10 10 10 0 0 0 0 0 0. Como ves hemos separado cada número para así no confundirnos. Posteriormente tomaremos bloques de 3 números: El primer bloque será 10 10 10, el segundo 0 0 0 y el tercero 0 0 0. Cada bloque lo multiplicaremos verticalmente por el número 731. Como resultado de la multiplicación obtendremos 3 números en cada bloque, en total 9 números. Después sumaremos los 9 números y nos quedaremos con la última cifra del resultado de la suma.
Después del la multiplicación obtenemos los 9 números como 6 de ellos son ceros pues no hace falta sumarlos. La suma da 110 y como la última cifra es 0 entonces el primer dígito de control es 0.
Para calcular los otros 3 dígitos de control utilizaremos el mismo método, es decir, dividir los números en bloques de 3 números, multiplicar verticalmente cada bloque por 731, sumar los resultados obtenidos y por último quedarnos con la última cifra del resultado final.
El segundo dígito de control se calcula a partir de la fecha de nacimiento, en nuestro caso es 720501. Al dividirlo en bloques quedaría 7 2 0 | 5 0 1.
Así llegamos a que el 2º es 1.
El tercer dígito de control se calcula a partir de la fecha de caducidad del DNI, en nuestro caso es 160101. Al dividirlo en bloques quedaría 1 6 0 | 1 0 1.
Por tanto el 3º dígito de control es el 3.
El cuarto y último dígito de control se calcula a partir de la concatenación del número de serie del soporte 10 10 10 0 0 0 0 0 0, el primer dígito de control 0, el número del DNI 84215164C como C es una letra, la pasamos a números por la conversión que vimos anteriormente. El valor de C es 12 y por tanto lo escribiremos de la forma 8 4 2 1 5 1 6 4 12. Concatenaremos además la fecha de nacimiento 7 2 0 5 0 1, el 2º dígito de control 1, la fecha de caducidad del DNI 1 6 0 1 0 1 y el tercer dígito de control 3. Al dividirlo en bloques quedaría:
10 10 10 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 8 4 | 2 1 5 |
1 6 4 | 12 7 2 | 0 5 0 | 1 1 1 | 6 0 1 | 0 1 3 |
Como consecuencia el 4º dígito de control es 1. Así, hemos visto como lo que nos contaban de que este número era el número de personas que coincidían contigo en nombre y apellidos es totalmente falso. Además hemos comprobado que los números que hemos calculado son realmente los que aparecen en el DNI.
@antonio_arjona7
martes, 11 de noviembre de 2014
El Último teorema de Fermat y su aparición en los Simpsons
¿Has visto alguna vez la serie de los Simpsons? En este post vamos a ver como detrás de estos graciosos dibujos se esconden a veces grandes resultados matemáticos, en este caso hablaremos sobre El Último teorema de Fermat. Alguno estará pensando y quien fue ese tal Fermat.
Fermat fue un jurista y matemático francés del siglo XVII $(1601-1665)$. Está considerado junto a Descartes como uno de los mejores matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Descubrió junto con Pascal la Teoría de Probabilidades, la geometría analítica junto con Descartes y el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz. Pero en realidad es más conocido por sus aportaciones a la Teoría de números, esto es debido a que tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, y más concretamente por el Último Teorema de Fermat.
Fermat fue un jurista y matemático francés del siglo XVII $(1601-1665)$. Está considerado junto a Descartes como uno de los mejores matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Descubrió junto con Pascal la Teoría de Probabilidades, la geometría analítica junto con Descartes y el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz. Pero en realidad es más conocido por sus aportaciones a la Teoría de números, esto es debido a que tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, y más concretamente por el Último Teorema de Fermat.
Otras aportaciones:
Números primos de Fermat
Un número se dice de Fermat es un número natural de la forma $$ F_n = 2^{2^n} +1 \qquad n\in\mathbb{N}$$ Fermat conjeturó que dichos números eran primos todos. Sin embargo, Euler se dio cuenta que dicha afirmación era falsa y encontró un contraejemplo. $$ F_5 = 2^{2^5} +1 = 2^{32}=4294967297= 641\, \cdot \, 6700417$$
Teorema de Fermat para la suma de cuadrados
Un número primo $p$ se puede expresar como suma de $2$ números cuadrados si y sólo si $p=2$ ó $p \equiv 1 \mod 4$. Podemos pensar que $p$ es equivalente a la hora $1$ en un reloj de cuatro horas, pensando que parte desde la hora $0$, por ejemplo, las $5\equiv 1 \mod 4$ porque $5 = 4 + 1$, o lo que es lo mismo una vuelta completa del reloj más una hora.
Pequeño teorema de Fermat
Si $p$ es un número primo, entonces $\forall \,a\in\mathbb{N}$ tal que m.c.d$\{a,\,p\}=1$ se cumple que $$ a^{p-1}\equiv 1 \mod p $$ Nota: m.c.d significa máximo común divisor. Decir que el m.c.d$\{a,\,p\}=1$ es equivalente a decir que son coprimos o que no tienen divisores comunes.
Dicho con otras palabras, si $p$ es un número primo de forma que es coprimo con otro número natural $a$ entonces se cumple que el resto de la división de $a^{p-1}$ entre p es 1.
Dicho con otras palabras, si $p$ es un número primo de forma que es coprimo con otro número natural $a$ entonces se cumple que el resto de la división de $a^{p-1}$ entre p es 1.
No podemos hablar sobre el Último teorema de Fermat sin mencionar el Teorema de Pitágoras, el teorema más famoso donde los haya, porque ¿quién no ha oído hablar sobre el Teorema de Pitágoras?
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Por ejemplo: $3^2 + 4^2 = 5^2$ o $5^2 + 12^2 = 13^2$.
Del Teorema de Pitágoras nos puede surgir una pregunta. ¿Qué ocurre cuando cambiamos los exponentes $(2)$ por otro número mayor? Es decir, ¿Existen $3$ números naturales $a,\,b,\,c$ tal que se cumple que $a^3 + b^3 = c^3$? o porqué no pensarlo en general, ¿existen $3$ números naturales $a,\,b,\,c$ de forma que se satisfaga que $a^n+b^n=c^n$, siendo $n>2$? Para responder a esta pregunta aparece el Último teorema de Fermat.
Último teorema de Fermat
Fermat conjeturó que no existen $3$ números enteros positivos $x\, y,\,z$ de forma que se satisfaga la ecuación $x^n + y^n = z^n$ para cualquier $n>2$.
En palabras de Fermat $($bueno esto es una traducción$)$.
Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.
Según Fermat, él tenía una demostración, pero ¿por qué no la escribió en otro papel? ¿Tan caro estaba el papel en esa época como para no coger otro y escribirla? Puede ser que tuviera una idea en la cabeza y lo mismo no fuera realmente la demostración. Bueno ya todo son conjeturas porque Fermat no está aquí para contárnoslo.
Lo que sí es verdad es que tan fácil no debía de ser la demostración para que tardaran unos $350$ años en llegar a ella. Muchos matemáticos de gran prestigio han intentado realizarla en esos $350$ años, todos sin éxito. La demostración de dicho teorema se debe al matemático Andrew Wiles en $1995$.
¿Estaréis pensando y esto que tiene que ver con los Simpsons?
Posteriormente veremos $2$ fotografías de los Simpsons en las que aparecen números que aparentemente no cumplen el Último teorema de Fermat. Pero porqué han puesto esto. ¿Es que acaso han encontrado algún ejemplo que lo contradice? Y si es así ¿cómo puede ser que ningún matemático encontrara errores en la demostración?
Posteriormente veremos $2$ fotografías de los Simpsons en las que aparecen números que aparentemente no cumplen el Último teorema de Fermat. Pero porqué han puesto esto. ¿Es que acaso han encontrado algún ejemplo que lo contradice? Y si es así ¿cómo puede ser que ningún matemático encontrara errores en la demostración?
Homer en la 3ª dimensión
$$ ¿1782^{12} + 1841^{12}=1922^{12}?$$
Como no somos capaces de calcular estos números de cabeza entonces utilizaremos la calculadora para verlo.
$1782^{12}+ 1841^{12}=2.541210259 \cdot 10^{39}$
$ 1922^{12} = 2.541210259 \cdot 10^{39}$
Aparentemente puede parecer que es cierta la igualdad ya que los números que aparecen en la calculadora coinciden. Sin embargo, si usamos una calculadora más potente $($cuyo resultado sea más preciso, o sea con más decimales$)$ nos daremos cuenta que en realidad la igualdad es falsa. Luego no hemos encontrado un contraejemplo para dicho teorema.
$$ 1782^{12} + 1841^{12}= 2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657$$
$$ 1922^{12} = 2.541.210.259.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616 $$
Podemos observar que coinciden en los primeros $9$ dígitos. ¿Cómo es posible si en la calculadora poseian $10$ dígitos iguales? La clave está en el redondeo.
Homer frente a una pizarra
$$ ¿3987^{12}+4365^{12}=4472^{12}?$$
Veamos que ocurre lo mismo con esta igualdad. Con calculadora el resultado es:
$3987^{12}+4365^{12}= 6.397665635 \cdot 10^{43}$
$ 4472^{12} = 6.397665635 \cdot 10^{43} $
¿Será que este ejemplo si es correcto? Usemos el ordenador para calcular todas las cifras del número:
$3987^{12} + 4365^{12} = 63.976.656.349.698.612.616.236.230.953.154.487.896.987.106 $
$4472^{12}= 63.976.656.348.486.725.806.862.358.322.168.575.784.124.416$
En este caso podemos ver que los números sólo coinciden en las primeras $10$ cifras. Como la cifra undécima de ambas es mayor que $5$ se redondea la décima cifra en ambos a la siguiente unidad. Luego en la calculadora en lugar de aparecer un $4$ aparece un $5$.
Conclusión:
- Las fotografías anteriores aunque sean falsas son bastante curiosas y ese el hecho por el que aparecen en la serie, como simple curiosidad.
- Los resultados matemáticos cuya demostración se conoce son resultados verdaderos. Muchas veces intentamos demostrar lo contrario de cosas que ya han sido demostradas, sin saberlo o por intentar demostrar que ese resultado es erróneo, por ejemplo, buscando contraejemplos como en este caso. En esta entrada queremos dejar claro que ha veces los cálculos que hacemos no son los precisos y que cualquier error pequeño puede ser en realidad un error bastante grande en el fondo.
- No debemos creernos todo lo que aparece delante de nuestros ojos, tenemos que ser cautos y contrastar la información.
Opinión personal: No debemos juzgar a Fermat solo por sus fallos porque en aquellos tiempos no poseían los maravillosos ordenadores en los que hoy podemos encontrar información y hacer cálculos. Creo que vale más todas las aportaciones que hizo a las matemáticas descubriendo la Teoría de probabilidades, la geometría analítica, la teoría de números y el cálculo diferencial. Y bueno lo de no aportar la demostración pues queda como una anécdota, no tenemos que darle tanta importancia. Lo importante es que ya sí está demostrado este resultado.
- Gaussianos
- Wikipedia
- Imágenes de catedu
Si lo que te interesan son los problemas no resueltos no dejes de ver la conjetura de Goldbach.
@antonio_arjona7
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