Matemáticas recreativas y educativas: febrero 2015

En esta entrada daremos respuesta a la siguiente pregunta ¿Se puede ganar siempre a un casino? El objetivo es desterrar las falsas creencias y los rumores que podemos encontrar en Internet acerca de esta pregunta. Los casinos suelen señalar una estrategia para "ganar" a la ruleta. ¿Será cierto que este método nos hace ganar dinero? ¿Y si es así, cuánto dinero podremos ganar con seguridad con este método?

El método que nos refieren se llama martingala. La martingala es una estrategia de apuesta que se popularizó en el siglo

$XVIII$ en Francia. Recibe el nombre de los habitantes de la localidad francesa de Martigues, ya que tanto los habitantes como la estrategia tenían fama de simples e ingenuos. En la teoría de probabilidades fue introducido por Paul Pierre Lévy. Dicho juego inicialmente consistía en lanzar una moneda y ver si el resultado es cara o cruz.

Si elegimos apostar por cara y el resultado obtenido tras lanzarla es cara

$(C)$ entonces ganamos la primera jugada y obtenemos como premio una cantidad igual a la apostada inicialmente. En caso contrario, es decir, si sale cruz

$(X)$ la persona pierde su apuesta.

Cruz Cara

Por la fórmula de Laplace

$(\frac{casos\,\, favorables}{casos\,\, posibles})$ , sabemos que la probabilidad de cara

$(p)$ es la misma que la de cruz

$(q)$ y vale

$p=P(C)=\frac{1}{2} \qquad \qquad q=P(X)=\frac{1}{2}$ Nota 1: La probabilidad de que ocurra un suceso siempre está determinada por números entre

$0$ y

$1$ , siendo el valor

$0$ el que se asocia a los sucesos imposibles y el valor

$1$ a los sucesos seguros. Para pasarlo a tanto por ciento

$(\%)$ basta con multiplicar por

$100$ .

Para evitar dichas pérdidas se optó por duplicar la apuesta en caso de pérdida, y repetir este proceso hasta que en algún momento salga una cara que nos haga recuperar lo perdido y ganar la apuesta inicial. Es decir, si las primeras

$k$ veces que hemos lanzado la moneda son todas

$X$ y la siguiente sale

$C$ , entonces el dinero ganado sería el doble de lo apostado en la última apuesta menos todo lo perdido en las

$k$ primeras apuestas.

$Ganancias = 2^k \cdot x - ( x+2x+4x+ \dots +2^{k-1}\cdot x) = x$

Veamos ahora un ejemplo: Supongamos que la apuesta inicial nuestra es

$1€$ .

Si sale cara en el primer lanzamiento $(C)$ : $Ganancias = 1€$
Si la primera vez que sale cara es en el segundo lanzamiento $(XC)$ : $Ganancias = 2- 1= 1€$
Si la primera vez que sale cara es en el tercer lanzamiento $(XXC)$ : $Ganancias = 4- (1+2) = 1€$
Si la primera vez que sale cara es en el cuarto lanzamiento $(XXXC)$ : $Ganancias =8 - (1+2+4) = 1€$
Si la primera vez que sale cara es en el quinto lanzamiento $(XXXXC)$ : $Ganancias = 16-(1+2+4+8) = 1€$

Siguiendo este razonamiento, siempre que salga cara en un lanzamiento

$k$ , con

$k\in\mathbb{N}$ , las ganancias serán de

$1€$ . Pero, ¿hay alguna posibilidad de que no aparezca cara alguna y como consecuencia no ganáramos la apuesta inicial nunca?

No, porque la probabilidad de que aparezcan infinitas cruces es $\lim_{n\to \infty}\big(\frac{1}{2}\big)^{n}=0$

Así pues, podemos observar que siempre llegará un momento en el que recuperemos lo perdido y ganemos la apuesta inicial. Cuando hayamos ganado, es decir, cuando obtengamos una cara, podemos volver a realizar el experimento, y así sucesivamente, tantas veces como se quiera. Por lo tanto ganaremos infinito dinero. Puede que estés pensando ¡Estupendo! Como esto se puede aplicar de forma similar a la ruleta. ¡Vamos a arruinar a algún casino que me siento poderoso!

¿A qué es debido que siempre podamos ganar la apuesta mínima y todas las veces que uno quiera?

Esto es debido a que estamos en el caso ideal, sin limitaciones de tiempo y dinero, pero ¿quién vive mucho más de $100$ años y puede jugar durante todo el día? porque algunas horas al día deberá descansar al menos la persona ... Y por supuesto ¿quién tiene dinero suficiente dinero para duplicar una cierta cantidad inicial todas las veces que quiera?

¿Pero si tuviera dinero infinito y aumento en un dinero infinito tengo más dinero?

Para nada. El dinero sería el mismo, $(\infty + \infty = \infty)$ .

Entendido esto pasaremos a explicar la relación que posee este método con la ruleta.

La ruleta:

En el caso de la ruleta la estrategia que aconsejan seguir algunos casinos online y muchas personas incautas es el mismo que con el de cara o cruz, usar la martingala, pero en este caso se apostaría a par o impar, a números del

$1-18$ o del

$19-36$ , o a rojo o negro, es decir, nos incitan a realizar apuestas por las que pagan

$1$ a

$1$ o lo que es lo mismo, ganas lo mismo que apuestas.

La estrategia "infalible"

Aunque la manera de proceder sea la misma en ambos juegos, la probabilidad de ganar que antes era del

$50\%$ cambia por una probabilidad menor del 50%. Ya leyendo esto estarás pensando que algo huele a chamusquina en esta "receta del éxito" que nos ofrecen como consejo.

En primer lugar distinguiremos entre dos tipos de ruleta:

La ruleta europea, cuyos números son del $0$ al $36$ .
La ruleta americana que además de los anteriores posee el número $00$ .

A partir de ahora trataremos el caso de la ruleta americana. El caso de la europea es muy similar, si bien las conclusiones son las mismas.

Hay que tener bien presente que el

$0$ y el

$00$ ni pertenecen a los pares, ni a los impares. Y además, su casillero es verde. Luego apostemos al juego que juguemos, siempre partimos con desventaja

$(como\,\, en \,\,todos\,\, los\,\, juegos \,\,de \,\,los\,\, casinos)$ y la misma probabilidad de ganar. Veámoslo:

Si jugamos a Rojo o Negro, la probabilidad de que ocurran es, por la fórmula de Laplace:

$P(Rojo)=\frac{18}{38}=\frac{9}{19}=0.47\qquad P(Negro)=\frac{18}{38}=\frac{9}{38}=0.47$ Si elegimos, por ejemplo, jugar al Rojo:

$P(Ganar)=P(Rojo)=\frac{18}{38}=\frac{9}{19}=0.47 \quad P(Perder)=1-P(Ganar)=1-\frac{18}{38}= \frac{10}{19}=0.53$

Para el caso de jugar a Par o Impar tenemos las mismas probabilidades que las de Rojo y Negro. Como consecuencia también se mantienen las probabilidades de Ganar y Perder.

Ya hemos visto la probabilidad que tenemos de ganar la cantidad inicial apostada

$(x)$ si hacemos una única jugada. ¿Qué ocurrirá si realizamos más jugadas?

En primer lugar, tenemos que tener presente que en la ruleta cada vez que se tira la bola tenemos sucesos independientes, también se suele decir que la ruleta no tiene memoria, o lo que es lo mismo, que aunque hayan salido

$20$ veces consecutivas un color, en la siguiente tirada no hay ni más ni menos posibilidades de que salga ese color o el otro, sino las mismas que había en un principio. Un error típico de los jugadores es pensar que después de salir unas cuantas veces consecutivas una apuesta, las posibilidades de que vuelva a ocurrir aumentan, otros piensan que es al contrario que las posibilidades aumentan para la otra apuesta, lo cual es totalmente falso. A este error típico se le conoce como la falacia del jugador. Así, llegamos a la conclusión de que en cada jugada tenemos la misma probabilidad de ganar

$(elijamos\,\, el\,\, mismo\,\, color\,\, o\,\, no)$ y por tanto también tenemos la misma de perder, elijamos la apuesta que queramos.

En el caso de 2 jugadas, como estamos apostando al color rojo

$(R)$ , tenemos:

Casos	Posibilidad de que ocurra	Ganancias
$RR$	$22’44\%$	$2x$
$RN$	$24’93\%$	$x$
$NR$	$24’93\%$	$0$
$NN$	$27’7\%$	$-3x$

Nota: Cuando tenemos sucesos independientes la probabilidad de que ocurran es el producto de las probabilidades de cada uno.

$P(RR)=P(R)\cdot P(R) = \frac{9}{19} \cdot \frac{9}{19}=0.2244$

$P(RN)=P(NR)=P(R)\cdot P(N)= \frac{9}{19} \cdot \frac{10}{19}=0.2493$

$P(NN)= P(N)\cdot P(N)= \frac{10}{19} \cdot \frac{10}{19}=0.277$

Para

$3$ jugadas los resultados son:

Casos	Posibilidad de que ocurra	Ganancias
$RRR$	$10’63\%$	$3x$
$RRN$	$11’81\%$	$x$
$RNR$	$11’81\%$	$2x$
$RNN$	$13’12\%$	$-2x$
$NNN$	$14’58\%$	$-7x$
$NNR$	$13’12\%$	$x$
$NRN$	$13’12\%$	$0$
$NRR$	$11’81\%$	$2x$

Como podemos observar la suma de las ganancias y pérdidas es

$0$ . Por otro lado, se puede ver que la probabilidad de ganar algo es superior a la de perder, por ejemplo, en el caso de

$3$ jugadas la probabilidad de ganar algo es del

$59'18\%$ . Si siguiéramos apuntando los resultados para jugadas superiores, podemos observar que el balance de ganancias y pérdidas sigue siendo

$0$ y que la probabilidad de ganar algo aumenta, si bien es cierto que en caso de que se pierda se hace con mayor contundencia.

¿Qué ocurre si sólo estos datos llegan a un receptor poco avispado?

La ruina.

Hay que dejar claro que el planteamiento anterior de que existe mayor probabilidad de ganar algo que de perder es totalmente cierto, pero no podemos duplicar la apuesta todas las veces que queramos ya que ni tenemos todo el tiempo del mundo ni la cartera como el bolsillo de doraemon para afrontar rachas grandes de partidas pérdidas. Además, los casinos poseen un límite de apuesta, con lo cual solo podrás doblar tu apuesta inicial un cierto número de veces. Cuanto mayor es el número de veces que puedes doblar tu dinero, mayor es la probabilidad de que vuelvas a recuperarlo y además obtengas una ganancia. Sin embargo, existe una correlación negativa entre la probabilidad de perder y la cantidad perdida, o sea a medida que aumentan tus posibilidades de ganar, debido a que puedes doblar más veces, la cantidad que puedes perder aumenta considerablemente, lo cual hace que no sea todo de color de rosa, sino más bien de color negro. Para tenerlo más claro veamos que ocurre en el caso de que podamos doblar

$4$ y

$8$ veces.

Supongamos que la apuesta mínima que el casino acepta es de

$20€$ , y la apuesta máxima es de

$200€$ . ¿Cuántas veces podemos doblar?

Para ver cuantas veces podemos doblar tenemos que ver cuantas veces como máximo podemos perder de forma consecutiva. Si perdemos la primera jugada hemos perdido

$20€$ . Si perdemos la

$2ª$ jugada además perdemos otros

$40€$ , si también perdemos la

$3ª$ y

$4ª$ entonces habremos perdido

$80€$ de la tercera y

$160€$ de la cuarta. La quinta jugada no la podríamos hacer porque superaríamos el límite de apuesta del casino que es

$200€$ , lo único que podríamos hacer es apostarnos

$200€$ y esperar a tener suerte, pero en este caso no recuperaríamos todo lo perdido anteriormente.

La probabilidad de perder es la probabilidad de obtener

$4$ cruces consecutivas. De esta forma llegamos a que

$P(Perder) = P(XXXX)= (\frac{10}{19})^4=0'0767$ El dinero perdido sería

$D_P=20+40+80+160=300€$ El

$7'67\%$ de las veces perderemos una cantidad de

$300€$ .

Y si pudiéramos doblar

$8$ veces la apuesta inicial de

$20€$ , ¿cuánto sería el dinero máximo que el casino nos permitiría apostar en una jugada?

Si perdemos

$8$ veces consecutivas, en sus respectivas jugadas perdemos

$20€,\,\,40€,\,\,80€,\,\,160€,\,\,320€,$

$640€,\,\,1280€,\,\,2560€$ . Luego la apuesta máxima tiene que ser inferior al doble de la última apuesta, para así no poder doblar otra vez la apuesta, o sea, la apuesta máxima es más pequeña de

$2\cdot 2560 = 5120€$ . La probabilidad de perder todas esas apuestas es

$P(XXXXXXXX)=(\frac{10}{19})^8=0'005888$ próxima al

$0'6 \%$ y el dinero perdido sería

$D_P=20+40+80+160+320+640+1280+2560= 5100€$

Número de jugadas perdidas	Porcentaje de que ocurra	Dinero perdido
$4$	$7’6$	$300€$
$8$	$0’59$	$5100€$

Observamos que el dinero aumenta

$17$ veces y que el porcentaje disminuye aproximadamente unas

$13$ veces. Luego no están en la misma proporción, lo cual hace que para nosotros sea desfavorable jugar muchas partidas. Aunque parezca que estas rachas negativas no aparecen mucho, a la larga cuando juguemos muchas partidas aparecerán, momento en el cual perderemos todo el dinero apostado. Y si quisiéramos recuperar el dinero perdido tendríamos que ganar muchas veces más, haciendo que sea casi imposible recuperar lo perdido. De esta forma es como se arruina la gente en estos juegos, entrando en una mala racha que les hace perder todo. Además, muchos de ellos son supersticiosos y creen que ha sido "mala suerte" y vuelven a jugar

$(tal\,\, vez\,\, en\,\, otra\,\, mesa)$ , lo cual les vuelve a llevar a perder otra vez una buena suma de dinero.

Ahora veremos que la esperanza matemática de ganar dinero con este juego es negativa, o lo que es lo mismo, el beneficio esperado es negativo. Por un lado, tenemos que la probabilidad de que un jugador pierda

$k$ veces consecutivas

$(si\,\, apostamos\,\,al \,\,rojo)$ es

$P(N \dots N) = P(N)^k = (\frac{10}{19})^k$ y la pérdida total sería

$\sum_{i=1}^{k} x\cdot 2^{i-1}= x + 2x+ \dots + 2^{k-1}\cdot x= (2^k -1)\cdot x$ Por otro lado, la probabilidad de que un jugador no pierda las

$k$ apuestas seguidas es

$1-(\frac{10}{19})^k$ , en cuyo caso el jugador ganaría la apuesta inicial

$x$ . Luego el beneficio esperado es

$B_E=(1-(\frac{10}{19})^k) \cdot x - (\frac{10}{19})^k \cdot x (2^k-1)= x (1-(2\cdot \frac{10}{19})^k) = x(1-(\frac{20}{19})^k)$

Como

$\frac{20}{19} >1$ se tiene que

$1-(\frac{20}{19})^k <0$ para todo

$k\geq 1$ . De esta forma vemos que en media perdemos siempre. Esto cuadra con lo que vimos anteriormente cuando desarrollamos las probabilidades en función del número de jugadas. Hay más casos en los que se gana dinero pero en estos casos se gana muy poco. Por el contrario, cuando se pierde se hace a lo grande.

Ejemplo:

Consideremos la apuesta inicial

$x=10€$ y nuestro dinero

$150€$ .

$150=10+20+40+80$ , luego podemos perder como máximo

$4$ veces y por tanto

$k=4$ . El beneficio esperado cada vez que juguemos es:

$B_E= 10 (1-(\frac{20}{19})^4)= -2.28€$ ¡Vaya! Antes de empezar a jugar ya sabes que no tienes que tener muchas esperanzas en este juego, porque a la larga palmas.

Los jugadores que son capaces de arriesgarse y jugar a la ruleta con este método lo hacen porque piensan que a la larga ganarán mucho dinero. Por ello cuando ganan no piensan en retirarse. Consideran poca cosa el haber ganado la apuesta inicial, además si han sido capaces de arriesgar mucho dinero por mantener su método e ir ganando poco a poco no se van a conformar con ganar unas pocas veces sino que seguirán y seguirán porque cuanto más veces ganen más pensarán que su método es el mejor, lo cual les llevará tarde o temprano a la ruina.

A modo de resumen. ¿Cuáles son las razones de por qué no funciona la martingala en estos juegos de ruleta?

Los juegos de ruleta no son juegos equitativos, luego tenemos una cierta desventaja con respecto a la banca.
La martingala, como hemos visto anteriormente es un caso ideal, ya que no viviremos infinitos años ni tampoco tenemos dinero infinito.
Los casinos poseen una apuesta máxima para que los jugadores cuando pierdan unas cuantas veces no puedan seguir doblando y como consecuencia pierdan todo el dinero apostado.
Es un juego de esperanza negativa, es decir, lo esperado es perder dinero.
Las rachas desfavorables o negativas aparecen con una frecuencia mayor a la que uno se espera, con lo cual los jugadores acaban por arruinarse.
La ley de los grandes números nos dice que a largo plazo la media de los resultados obtenidos de las tiradas de la ruleta se aproximan al valor esperado, que como vimos es negativo.