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martes, 2 de mayo de 2017

Introducción a los poliedros: Prismas y pirámides

Este artículo se debe a una clase que di hace un año en una entrevista para un colegio privado. Me pidieron hablar sobre áreas y volúmenes de cuerpos geométricos... os dejo con esta entrada.


A pesar de que normalmente estamos acostumbrados a introducir las áreas de las figuras planas antes de hablar sobre los cuerpos geométricos, no es la única forma de hacerlo.

En esta entrada, propongo comenzar hablando sobre los cuerpos geométricos, partiendo de los conceptos de poliedro, prisma y pirámide. A continuación, a través de problemas reales sobre áreas y volúmenes, motivar al alumno a cuestionarse las fórmulas que permitan calcularlos.

En primer lugar se empezaría recordando el concepto de poliedro, prisma o pirámide, estableciendo sus elementos más representativos. A saber, caras, aristas, vértices, bases, caras laterales... Además se distinguirían sobre los diferentes tipos de prismas o pirámides.

Hay que tener presente que los ejemplos e imágenes de la realidad siempre son muy buenas para comprender los conceptos y aclarar ideas.

A continuación, dejo una breve presentación sobre cómo haría el comienzo de la misma.



Una vez completada la parte teórica, diapositivas 1-7, se pasaría a la aplicación de un problema real, que sería el siguiente:


El problema de la granja nos indica que nos imaginemos que tenemos una casa de campo como la que aparece en la imagen de la diapositiva 8, sin embargo, en el PDF se incluyen medidas de ancho, largo y altura de la casa y tejado. Es una actividad guiada, en la cual el profesor apenas tiene que explicar los problemas propuestos y el alumno podrá utilizar sus capacidades para aprender de forma autónoma. Le permitirá al alumno plantearse cuestiones relacionadas con el cálculo de volúmenes y sobre todo será una actividad relacionada con la vida real. Además, nuestros alumnos podrán deducir la cantidad de pintura que necesitaremos para pintar la casa, mediante un desarrollo de la figura en Geogebra, para ello bastará con desplazar los deslizadores de izquierda a derecha.



Podrán deducir el volumen de un prisma mediante otra app de Geogebra. Para ello, se plantean preguntan como:
  • ¿Cambiará el volumen del prisma si cambiamos la inclinación al largo? ¿Y al ancho?
  • ¿Qué crees que pasará con el volumen si cambiamos la altura del prisma? ¿Y si cambiamos la figura de la base?
  • ¿De qué crees que dependerá la fórmula del volumen?

Finalmente se haría clic en la Fórmula para que vean realmente que al hacer esas variaciones planteadas la fórmula sólo depende del área de la base y de la altura del objeto.

Por otro lado, para deducir el volumen de una pirámide se puede comprobar llenando de agua, arena o arroz que el volumen de una pirámides es una tercera parte el volumen de un prisma que tiene la misma base y altura.

Como se observa, se han utilizado gran cantidad de imágenes de la vida cotidiana para darle sentido al hecho de que las matemáticas se encuentran en todas partes.

Este tema, que corresponde a niveles de 2º ESO y 3º ESO, se puede ampliar hablando de los poliedros regulares, del cálculo de otros tipos de áreas como la de un círculo o de un polígono regular, para poder hablar de otros tipos de prismas y cuerpos redondos como el cilindro, cono, esfera, etc. Si bien es cierto, que puede ser un poco caótico para nuestros alumnos llevar de la mano el cálculo de áreas y volúmenes a la vez, considero los alumnos están acostumbrados al estudio de muchas fórmulas y hasta que no se ve la aplicación tarda mucho tiempo. De este modo, el problema les aporta una visión global y les relaciona directamente las áreas con los volúmenes, para finalmente el día de mañana, si se les plantea el problema, puedan verlo con más naturalidad. También puede utilizarse a modo de repaso e ir directamente al cálculo de volúmenes en cursos como 3º ESO.

Nuestros alumnos, en innumerables ocasiones, no son capaces de conocer para qué sirven determinados temas de las matemáticas y esto puede ser debido a que no conocen suficientes aplicaciones de las misma a su entorno. Por este motivo, en este problema planteamos pintar la casa y el volumen de aire que puede haber dentro de la casa, como dos ejemplos particulares entre los muchos que podemos encontrar en la realidad.

@antonio_arjona7

martes, 21 de febrero de 2017

Lectura Historia de los números reales

En los albores de la raza humana, las tribus más primitivas dedicaban sus actividades a la caza y a cuidar del rebaño de ganado. Cuando el rebaño es grande es necesario adoptar alguna estrategia para saber si se ha perdido o han robado parte de él. Por este motivo, es indispensable la utilización de un sistema de numeración que indique cuántos animales tenemos de cada tipo.

Muchas civilizaciones, en un principio, solo distinguían entre uno y muchos o entre uno, dos y más de dos. Posteriormente, se utilizó el lenguaje corporal como dedos de una o dos manos, pies, codo… y otros objetos como montones de piedras, muescas en un palo o trozo de hueso para expresar cantidades: un sol, dos corderos, tres caballos… Como podemos observar los números que se utilizan son los llamados números naturales $$\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, … \}$$ Poco a poco fueron apareciendo diferentes sistemas de numeración, los cuales utilizaban diferentes símbolos para representar las mismas cantidades, veamos unos ejemplos:

Muchas tablillas descubiertas, muestran que los babilonios tenían un sistema de numeración posicional en base 60. Este sistema tenía un signo para sortear el inconveniente de las posiciones vacías, lo que inducía en muchas ocasiones al error. Más adelante introdujeron un nuevo símbolo que podemos considerar como cero1. Además, utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60.

                                                                                                             Tablilla Plimpton 322                   
Desde hace unos 5000 años, la gran mayoría de las civilizaciones han utilizado un sistema de numeración decimal. En primer lugar, los egipcios con sus jeroglíficos y con posterioridad los griegos, chinos… Sin embargo, la escritura ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiera el cálculo.

La civilización egipcia (2000 \,a. C.) empezó a usar expresiones que representaban lo que conocemos por números fraccionarios. Estas fracciones tenían como peculiaridad que el numerador siempre era igual a 1. En su escritura, representaban un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, el denominador. La omisión del numerador era debido a que siempre era el mismo.

En el siglo $V$ a. C. los pitagóricos encontraron unos números que llamaron inconmensurables, estos números no eran naturales, ni enteros ni fracciones. Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el siguiente problema:
''Hallar el valor numérico de la diagonal de un cuadrado de lado una unidad.''
Si aplicamos el teorema de Pitágoras tenemos que: $$ d^2 = 1^2 + 1^2 \Rightarrow d^2 = 2$$ Descubrieron así, un número que conocemos como raíz de 2, $\sqrt{2}$. Dicho número no es un número no racional, llamado número irracional, y se caracteriza porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
Los chinos, hacia los siglos $II$ y $I\, a. C.$, utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar operaciones, en especial, cálculos comerciales. Estos bastoncillos eran negros y rojos para representar valores positivos y negativos. Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se agrupan formando el grupo de los números enteros $\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1, 0, 1, 2, … \} $. El cociente de dos números enteros con denominador no nulo forma el conjunto de los números racionales $$\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} : a, b \in Z; b \notin 0\}$$ En torno al año 650 d. C. Brahmagupta enseña en sus escritos a operar con sumas y restas usando bienes, deudas y la nada. Fueron utilizados en siglos posteriores pero no eran aceptados por gran parte de la comunidad matemática.
Los hindúes observaron que el valor posicional del sistema babilónico se podía aplicar al sistema decimal. Sin embargo, hasta el siglo $IX$ no se produjo la aparición del $0$.
El sistema actual fue inventado por los hindúes y transmitido a Europa por los árabes. No se estableció hasta el siglo $XIII$ y de forma lenta. Autores como Leonardo de Pisa "Fibonacci" intentaron popularizar el sistema. Este sistema estaba dotado de una barra horizontal para separar el numerador del denominador en las fracciones.

A principios del siglo $XVII$, los números decimales aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando la parte entera de la parte decimal mediante un punto o una coma. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el año 1972.
Desde los griegos, los matemáticos representaban los números racionales y algunos irracionales en una recta, denominada recta real. Finalmente, se dieron cuenta de que la unión de los dos conjuntos completaba dicha recta y a dicho conjunto se llamó conjunto de los números reales. $$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$ donde $\mathbb{I}$ es el conjunto de todos los números irracionales.


1.      ¡OJO! “Entre los matemáticos existe una gran controversia sobre si el $0$ debe o no debe ser considerado número natural.”
1.      Realiza un resumen por parejas sobre la lectura, identificando las palabras que vas a añadir a tu diccionario matemático y las que desconoces para posteriormente buscarlas en casa.

2.      Identifica las ventajas e inconvenientes de dos de los siguientes sistemas de numeración y analiza sus principales características: sistema decimal, egipcio, romano, griego, binario, octal, hexadecimal.

3.      ¿Por qué crees que se utiliza el sistema decimal?

4.      ¿Qué significa que un sistema es posicional?

5.      Descompón las siguientes fracciones en suma de fracciones de denominador uno:   3/25,  7/8,  11/15

6.      ¿Por qué los números negativos no eran aceptados?

7.      En la definición de número racional o fracción hemos visto que eliminamos el denominador 0, ¿sabrías explicar por qué?

8.      ¿Qué números irracionales conoces? Cita todos los que conozcas o busca información sobre ellos. Háblanos de la importancia de algunos de ellos y alguna relación con la realidad. Nota: Los más importantes son los que tienen un símbolo asociado.

9.      ¿Cuál es la razón más importante por la que es conocido Fibonacci? Relaciona este concepto con el número áureo o número de oro.

10.   Cuéntanos un chiste matemático en el que se traten de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

@antonio_arjona7

jueves, 1 de diciembre de 2016

Castillitos en el aire

Las operaciones con fracciones no son un tema complejo, de hecho ya en 1º ESO ya se pueden encontrar alumnos que las manejan con soltura, pero que pasa si se camufla la división, pues que llegamos a obtener unos castillos de fracciones que ya parecen ser de OTRO NIVEL. Nada más lejos de la realidad.

Al escribir esta entrada recuerdo que este mismo nombre lo lleva una canción de copla que dice así:

"Castillitos en el aire
sabiendo que son mentira
casi to el mundo los hace"

Como dice la canción, estos castillos son MENTIRA, pues no son más que una simple división de fracciones cuyo nivel ya hemos dejado claro al principio. Por otro lado, aunque la canción diga casi to el mundo los hace, en este caso no es cierto, pues gran parte del alumnado de Bachillerato e incluso de algunas carreras siguen cayendo en estas TRAMPAS.



Pero bueno, si nos damos cuenta, este cálculo puede realizarse de otra forma, como sigue:


Y alguno pensará, si tardamos lo mismo:

No sé si es porque tengo hambre o porque en realidad esta fracción se parece a un SANDWICH, pero yo imagino que los números inferior y superior son los "panes" y los del centro la "lechuga".

Luego para resolver este castillo de fracciones basta con juntar pan con pan y lechuga con lechuga. La multiplicaciones de los "panes" dará el numerador final $(2·7=14)$ y la multiplicación de las "lechugas" $(3·4=12)$ nos dará el denominador final. Si multiplicamos de cabeza nos ahorramos un paso intermedio. Basta con simplificar las fracciones para terminar.

@antonio_arjona7

martes, 22 de noviembre de 2016

Pasos para alcanzar un aprobado en mates

Como todos sabemos, MATEMÁTICAS es una asignatura que tiene gran dificultad para nuestros alumnos. Esto se comprueba fácilmente viendo el índice de aprobados de esta asignatura, que en un gran número de ocasiones es la de menor índice. Existen varios factores que inducen a que los alumnos no consigan ese ansiado aprobado:
  • Juzgar a las matemáticas antes de empezar el curso. "Si el año pasado me fue mal, este me irá peor", "las matemáticas son muy difíciles". Las ideas preconcebidas no son buenas. Se debe incrementar el pensamiento positivo para afrontar la asignatura con más ganas y "entusiasmo".

  • Desconocimiento de la importancia y belleza de las matemáticas y su relación con la vida cotidiana. Los alumnos se preguntan, "¿por qué estudio esto si no me va a servir para nada?", "¿en qué situaciones podré aplicar las matemáticas?", "¿cómo puede pensar alguien que las matemáticas son bellas?" ... Como dijo Bertrand Russell, "las matemáticas, consideradas correctamente, poseen no solamente verdad, sino una suprema belleza-- una belleza fría y austera, como la de una escultura." Normalmente las clases de matemáticas se enfocan a la adquisición de unos contenidos y objetivos marcados al principio del curso. Sin embargo, normalmente no se explica cuándo aparecieron dichos conceptos, quién o quienes los descubrieron, cuál es la importancia de su aparición, en qué situaciones se pueden aplicar ... La historia que envuelve a las matemáticas es cultura que los alumnos deben conocer. Por otro lado, las aplicaciones de las matemáticas en nuestra vida no suelen ser destacadas, provocando que los alumnos no sean conscientes que las matemáticas se encuentran en todas las situaciones de la vida y no sean capaces de observarlas en su entorno.

  • Falta de motivación e interés. "Las clases de matemáticas son muy aburridas", "cuando voy a matemáticas me entra un sueño" son algunas frases que podemos escuchar a nuestros alumnos. El método tradicional de enseñanza de las matemáticas no está enfocado a los alumnos que vienen a nuestras aulas. El auge de las nuevas tecnologías en las que ellos se hayan inmersos debe tomarse en consideración e introducirse en las clases de matemáticas. Existen programas de geometría dinámica, como Geogebra o Cinderella que aportan un factor motivador, incrementan el interés de nuestros alumnos por la asignatura y les permiten plantearse cuestiones relacionadas con  los problemas y conceptos que estamos tratando. El uso de la calculadora, de hojas de cálculo y otras calculadoras más potentes como Wiris son imprescindibles en clase porque permiten centrarnos en lo importante, que es la comprensión de los conceptos y procedimientos, y no sólo en la realización de cálculos ya asimilados y comprendidos. Si bien, no se debe hacer únicamente uso de estas herramientas, pues también es importante saber resolverlas por nuestra cuenta.
  • La participación en clase es un factor fundamental. Las dudas que se tienen deben ser preguntadas para solventarlas lo más pronto posible y así poder construir conocimientos sólidos que serán la base para la creación de los nuevos conceptos y procedimientos.
  • La introducción de juegos matemáticos, "matemagia", las películas o series matemáticas pueden cambiar la mentalidad de las matemáticas como un ente abstracto al alcance de pocos.
  • A medida que pasan los años, la cantidad de contenidos y procedimientos que aparecen en los libros de texto van disminuyendo, de este modo, los alumnos tienen menos que estudiar. Sin embargo, el estudio de los alumnos no aumenta y tampoco lo hacen las calificaciones que se van obteniendo. Es necesario una mayor implicación de alumnos y profesores, en simbiosis todos salen ganando. ¡Juntos podemos conseguirlo!

Como se observa, el problema no es únicamente de los alumnos, los profesores pueden adaptar la enseñanza a una metodología más moderna. El uso de recursos como las nuevas tecnologías, juegos, películas o series, "matemagia", la historia o las aplicaciones de las matemáticas en la vida, promueven un incremento de la motivación, interés y pueden meter el "gusanillo" a aquellos alumnos que aunque empezaron reacios a esta, a medida que pasa el tiempo ven la importancia de la asignatura en sus vidas y entorno. Por otro lado, los alumnos deben poner de su parte, deben conocer y aplicar las técnicas de estudio, esto es, hacer resúmenes, subrayar lo más importante, realizar esquemas ... ; incrementar la participación mediante el planteamiento de cuestiones o dudas; empezar la asignatura con un pensamiento positivo; etc.

A continuación, se indican una serie de pasos que considero imprescindibles para alcanzar el aprobado en "mates", si bien, los factores aconsejados anteriormente también deben tenerse en cuenta para conseguirlo.


El aprendizaje debe partir de los conocimientos previos. Los alumnos tendrán que identificar sus carencias en el momento en que no sean capaces de entender los ejemplos o ejercicios resueltos por el profesor. Los alumnos, al corregir los ejercicios podrán conocer sus errores y podrán corregirlos mediante el estudio de ejemplos y ejercicios similares, el planteamiento de dudas al profesor o a alguno de sus compañeros que haya asimilado aquellos conceptos o procedimientos. Una vez corregidos los errores, el alumno habrá construido correctamente los nuevos conceptos y habrá aprendido de manera significativa y por lo tanto, este conocimiento será más duradero. El cúmulo de aprendizajes alcanzados mediante este procedimiento anterior serán fundamentales para que el alumno obtenga una calificación positiva.

Una parte importante de los alumnos y padres solo piensan en el aprobado. De este modo, el aprendizaje parece estar en un segundo plano. Los conocimientos estudiados a corto plazo son efímeros y durarán poco tiempo en nuestro cerebro. Puede que este tipo de estudio garantice nuestro aprobado, pero a largo plazo no seremos capaces de recordar lo aprendido y la laguna que tendremos se hará cada vez más grande.

Por otro lado, también hay profesores de clases particulares cuyo objetivo principal es conseguir el aprobado de sus alumnos. Para ello, les incitan a resolver fundamentalmente los exámenes de años anteriores. Éste método, sin duda, puede ser efectivo si lo que pretendes es alcanzar el aprobado, y sobre todo si quieres que al año siguiente vuelvan los mismo alumnos a tus clases. Pero si lo que pretendes es que estos alumnos aprendan, es imprescindible hacer que tus alumnos piensen por sí mismos, manejen adecuadamente la lógica y conozcan la importancia y el uso de las herramientas que se hayan a su alcance.


Como dijo Norma Banicevich "la ciencia de las matemáticas es como un simple castillo de cristal, donde adentro se ve todo, pero desde afuera no se ve nada". Los profesores debemos invitar a nuestros alumnos a visitar el castillo por dentro y vean las matemáticas con unos ojos diferentes.


@antonio_arjona7

miércoles, 28 de septiembre de 2016

Cadena de matemáticos

En esta entrada vamos a intentar hacer una gran cadena de matemáticos. Empieza Fermat con su Pequeño teorema y ahora os toca a vosotros. Toca la T, ¿conoces algún matemático cuyo nombre empiece por T? Participa, comparte, cuantos más larga la cadena mejor.


@antonio_arjona7

miércoles, 21 de septiembre de 2016

martes, 23 de agosto de 2016

Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Antes de nada deberás conocer como resolver ecuaciones de primer grado, conocer las ecuaciones equivalentes, transformar ecuaciones equivalentes en otras y despejar incógnitas. Si ya conoces todo esto puedes adentrarte en el mundo de los sistemas de ecuaciones, en este caso, en el de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas se representa de la siguiente forma:

¡No te asustes si ves demasiadas letras!

http://wwwdontmakemecountto3.blogspot.com.es/2011/08/dont-worry-be-happy.html

Todas las letras en negrita son números, generalmente enteros, fracciones o decimales, es decir, normalmente aparecerán como coeficientes números racionales.

Bueno, ¡pongámonos manos a la obra!

Es frecuente utilizar 4 formas distintas de resolver un sistema de ecuaciones. El método de sustitución, igualación, reducción y gráfico. En este post os ofrecemos como resolver mecánicamente los sistemas, por este motivo, los métodos que se explicarán serán los 3 primeros.


Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible en caso contrario. Un sistema es compatible determinado si tiene una única solución y compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Veamos en primer lugar el caso en que exista una única solución. Vamos a resolver el siguiente sistema por los 3 métodos.


Método de sustitución

Paso 1: Despejamos x en la 1ª ecuación, por ejemplo:



Paso 2: Sustituimos la expresión obtenida en la 2ª ecuación.


Paso3: Resolver la ecuación.


Paso 4: Sustituir el valor de y en el despeje inicial de x.


Paso 5: La solución es única $(x, y) = (-5, 3)$.

PD: No caigas en el error de que hay dos soluciones porque haya dos incógnitas. Esto es completamente falso.

Método de igualación

Paso 1: Despejamos x en las 2 ecuaciones.


Paso 2: Igualar las expresiones obtenidas.


Paso3: Resolver la ecuación.


Los pasos 4 y 5 son idénticos para los 3 métodos.

Método de reducción


Este método consiste en sumar un múltiplo de la primera ecuación con otro múltiplo de la segunda de manera que el resultado de sumar las ecuaciones resultantes elimine una de las dos incógnitas.

Paso 1: Si queremos eliminar la incógnita x tendremos que multiplicar por 2 la primera ecuación y por 1 la segunda, es decir, dejar igual que está.

¡OJO! Multiplicar la ecuación por 2 es multiplicar por 2 a todos y cada uno de los factores del primer y del segundo miembro, siendo el primer miembro lo que se encuentra a la izquierda de la igualdad y el segundo miembro lo que aparece a la derecha.

Paso 2: Sumar ambas ecuaciones.

Paso 3: Resolver la ecuación.


Los pasos 4 y 5, como ya se ha indicado son los mismo que en el primer método.

Si tu nivel es superior a 2º de ESO y te suena que pueden aparecer otro tipo de soluciones puedes continuar tu aprendizaje con lo siguiente...


UN SISTEMA PUEDE TENER $\infty$ SOLUCIONES.

Si un sistema tiene más de una solución, entonces tendrá infinitas y esto es debido a que las dos ecuaciones son equivalentes, o lo que es lo mismo, proporcionales. Es el caso del siguiente sistema.


Como podemos observar, la segunda ecuación se obtiene multiplicando la primera por -2. De este modo para hallar las soluciones nos sobraría una de las ecuaciones, por ejemplo la segunda, ya que las soluciones obtenidas en cada ecuación son las mismas.

Quedémonos con la primera. $$2x+3y=3$$ Despejemos una de las incógnitas, por ejemplo x. Obtenemos $$ x=\frac{3-3y}{2}$$ Podríamos pensar en que tendríamos una o dos soluciones a lo sumo. Para encontrar una única solución necesitamos otra ecuación de la cual poder despejar y. Como esto no es posible, lo único que podemos hacer es dar valores a la variable y y ver que valores toma x para cada uno de ellos. Hacemos una tabla de valores, ¡como hacemos con las funciones! pero en este caso a quien damos valores es a y.


Como observamos podemos tomar el valor que queramos en y, y a su vez encontramos otro valor de x que está asociado a dicho valor de y. Luego el número de soluciones son tantas como las posibilidades que tenemos de elegir y, ¡que son infinitas!

¿Y si no nos damos cuenta de que las ecuaciones son proporcionales? Si aplicamos el método de reducción obtenemos 0=0 y esto nos indica que las ecuaciones son proporcionales.


UN SISTEMA PUEDE NO TENER SOLUCIÓN.

Los sistemas incompatibles, sin solución, son casos muy específicos y se pueden ver a simple vista. Son aquellos que no cumplen la siguiente proporción. $$ \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}$$ Es decir, una de las igualdades anteriores no se cumple como ocurre en los sistemas compatibles. Un ejemplo de ello puede ser el siguiente:


Otra forma de verlo es al aplicar el método de reducción que obtenemos que dos número distintos son iguales, por ejemplo 0=1, lo cual es absurdo.

En este caso si multiplicamos por 2 la primera ecuación $ (4x+6y=6) $ y posteriormente la sumamos con la segunda tenemos: $ (0=-1) $.

Espero que os sirva de ayuda. Si te ayudó danos un Like y Comparte con tus amigos. #LasMatemáticasAlPoder

@antonio_arjona7