Para probar este resultado razonaremos por reducción al absurdo, pero ¿en que consiste este método? Este método consiste en partir de la hipótesis contraria y llegar a una contradicción que nos dirá que lo que hemos supuesto es falso.
En este caso, lo contrario es que √2 es un número racional porque si un número no es irracional entonces debe ser racional, es decir, es de la forma √2=pq
donde p,q∈Z y q≠0.
Podemos suponer sin pérdida de generalidad que pq es una fracción irreducible, o lo que es lo mismo, que el máximo común divisor de p y q es 1. Si no fuera irreducible es porque es una fracción reducible y entonces podemos dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos números, creando así una fracción equivalente.
Si d=m.c.d(p,q) entonces ∃p′,q′∈Z tal que p=d⋅p′;q=d⋅q′, y así pq=d⋅p′d⋅q′=p′q′
Supongamos que √2=pq, elevando al cuadrado y operando tenemos: 2=p2q2→2⋅q2=p2
Luego p2 es par lo cual implica que p es también par. Como p es par entonces es de la forma p=2⋅k para un cierto k∈Z. Sustituyendo el valor de p y operando obtenemos: 2⋅q2=p2→2⋅q2=4⋅k2→q2=2⋅k2
Luego q2 es par y esto implica que q es par. Como consecuencia hemos llegado a que p y q son pares lo cual es absurdo porque esto quiere decir que el máximo común divisor de p y q es al menos 2 y esto contradice a nuestra hipótesis (m.c.d(p,q)=1).
Conclusión: 2 es un número irracional.
Nota: Si quieres conocer los tipos de números que existen pincha aquí.
@antonio_arjona7
Una forma de demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional puede ser la siguiente:
ResponderEliminarSupongamos que √2 = m/n, donde m/n es un racional mayor que 1 y menor que 2. Además, m y n no tienen factores primos comunes.
Al elevar al exponente 2 en ambos miembros, se obtiene:
m²/n² = 2 ∗.
Sea M = m1,m2,…,mk el conjunto de los factores primos de m.
Y sea N = n1,n2,…,nl el conjunto de los factores primos de n.
Sabemos que M∩N = ∅.
Los factores primos de m² son m1,m1, m2,m2, … , mk,mk.
Por tanto, como son los mismos factores de M repetidos, el conjunto de factores primos de m², es P= m1,m2,…,mk = M.
Los factores primos de n², son n1,n1,n2,n2, …, nl,nl.
Por tanto, como son los mismos factores de N repetidos, el conjunto de factores primos de n², es Q = n1,n2,…,nl = N.
Tenemos que P = M y Q = N. Entonces, P∩Q = ∅.
Se deduce que m² y n² no tienen factores primos comunes.
De modo que la fracción m²/n² es irreducible.
Debido a que n ≠ 1, m²/n² ≠ k, donde k es un número natural.
En particular, m²/n² ≠ 2.
Según la expresión ∗, hemos llegado a una contradicción.
Y así, la suposición inicial es falsa. Finalmente, √2 es irracional.