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lunes, 15 de septiembre de 2014

Demostración de que Raíz de 2 es irracional

¿Qué significa que un números es irracional? Un número irracional es un número que no es racional, es decir, no se puede representar como fracción pq siendo p,q números enteros y q no nulo.

Para probar este resultado razonaremos por reducción al absurdo, pero ¿en que consiste este método? Este método consiste en partir de la hipótesis contraria y llegar a una contradicción que nos dirá que lo que hemos supuesto es falso. 

En este caso, lo contrario es que 2 es un número racional porque si un número no es irracional entonces debe ser racional, es decir, es de la forma 2=pq donde p,qZ  y  q0.

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que pq es una fracción irreducible, o lo que es lo mismo, que el máximo común divisor de p y q es 1. Si no fuera irreducible es porque es una fracción reducible y entonces podemos dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos números, creando así una fracción equivalente

Si d=m.c.d(p,q) entonces p,qZ tal que p=dp;q=dq, y así pq=dpdq=pq
Supongamos que 2=pq, elevando al cuadrado y operando tenemos: 2=p2q22q2=p2
Luego p2 es par lo cual implica que p es también par. Como p es par entonces es de la forma p=2k para un cierto kZ. Sustituyendo el valor de p y operando obtenemos: 2q2=p22q2=4k2q2=2k2 
Luego q2 es par y esto implica que q es par. Como consecuencia hemos llegado a que p y q son pares lo cual es absurdo porque esto quiere decir que el máximo común divisor de p y q es al menos 2 y esto contradice a nuestra hipótesis (m.c.d(p,q)=1)

Conclusión: 2 es un número irracional.

Nota: Si quieres conocer los tipos de números que existen pincha aquí.


@antonio_arjona7

1 comentario:

  1. Una forma de demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional puede ser la siguiente:
    Supongamos que √2 = m/n, donde m/n es un racional mayor que 1 y menor que 2. Además, m y n no tienen factores primos comunes.
    Al elevar al exponente 2 en ambos miembros, se obtiene:
    m²/n² = 2 .
    Sea M = m1,m2,,mk el conjunto de los factores primos de m.
    Y sea N = n1,n2,,nl el conjunto de los factores primos de n.
    Sabemos que M∩N = ∅.
    Los factores primos de m² son m1,m1, m2,m2, … , mk,mk.
    Por tanto, como son los mismos factores de M repetidos, el conjunto de factores primos de m², es P= m1,m2,,mk = M.
    Los factores primos de n², son n1,n1,n2,n2, …, nl,nl.
    Por tanto, como son los mismos factores de N repetidos, el conjunto de factores primos de n², es Q = n1,n2,,nl = N.
    Tenemos que P = M y Q = N. Entonces, P∩Q = ∅.
    Se deduce que m² y n² no tienen factores primos comunes.
    De modo que la fracción m²/n² es irreducible.
    Debido a que n ≠ 1, m²/n² ≠ k, donde k es un número natural.
    En particular, m²/n² ≠ 2.
    Según la expresión , hemos llegado a una contradicción.
    Y así, la suposición inicial es falsa. Finalmente, √2 es irracional.

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