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lunes, 29 de septiembre de 2014

Descubriendo a los farsantes. Falacias matemáticas 2

En esta entrada hablaremos sobre $3$ falacias matemáticas. Una falacia es un argumento que aparentemente es cierto pero que en realidad es falso. 

                                    $2>3$


Partimos de que $4<8$, al invertir estos números cambia el sentido de la desigualdad y queda $ \frac{1}{4}>\frac{1}{8} $. Después se descomponen ambos números como potencias de base $\frac{1}{2}$. Posteriormente aplicamos la función logaritmo y como esta función es creciente en su dominio ((0,+\infty)) entonces no cambia el sentido de la desigualdad y por tanto queda $ \log{(\frac{1}{2})^2} > \log{(\frac{1}{2})^3}$. Aplicamos una de las propiedades de los logaritmos y llegamos a $2\cdot \log{\frac{1}{2}}>3\cdot \log{\frac{1}{2}}$. Para finalizar se cancela de ambos lados $\log{\frac{1}{2}}$ pero aquí es donde está el errorAl dividir por $\log{\frac{1}{2}}$ se tiene que cambiar el sentido de la desigualdad porque el logaritmo de un número $a$ con $0<a<1$ es negativo, es decir, $$ \log{a}<0 \qquad \forall \,a\in (0,1)$$ Así que al cambiar el sentido de la desigualdad llegaríamos a que $2<3$ lo cual sabemos que es cierto.

$1=-1$


¿No os parece curioso esto? Si nuestros ministros conocieran este hecho ¡¡la crisis desaparecería de un plumazo!! Nuestra deuda financiera pasaría a ser el dinero que tendría, es decir, si España debe $100$ millones entonces pasaría a tener un saldo positivo de $100$ millones. Entonces tenemos que ir inmediatamente a los bancos a pedir préstamos, cuanto más dinero nos den mejor, ya que deber es lo mismo que tener. Pero si esto fuera así, o las personas no conocen la existencia de esto o los bancos estarían arruinados todos. Vamos ahora a ver como no es oro todo lo que reluce, o sea no es cierto todo lo que lo parezca. 

El error se encuentra en la segunda fila ya que la raíz cuadrada está definida en los números reales y en $\mathbb{R}$ la raíz de un número negativo no existe. 

                                    $5=4$


Luego si esto fuera cierto tendríamos que $2+2=5$.

Partimos del hecho de que $-20=-20$ y lo expresamos como $25-45=16-36$, posteriormente se suma $\frac{81}{4}$ a ambos términos de la igualdad. Después se expresa cada término como producto de $4$, $5$ y/o $\frac{9}{2}$. En el siguiente paso hacemos el cambio $$ a^2 -2\cdot a \cdot b + b^2 = (a-b)^2 $$
En este caso el error se realiza al hacer la raíz cuadrada, es decir, en el siguiente paso. Cuando hacemos una raíz cuadrada obtenemos 2 valores posibles uno positivo y otro negativo. Así que para que la igualdad se cumpla $5-\frac{9}{2}= 4-\frac{9}{2}$ ó $5-\frac{9}{2}=-(4-\frac{9}{2})$. Como vemos en el ejemplo el valor positivo no lo cumple. Veamos que sí lo hace el negativo. $$ \frac{1}{2}=5-\frac{9}{2}=-(4-\frac{9}{2})=-4+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}$$

Para finalizar nos quedamos con una anécdota.

Bertrand Russell afirmó que de un enunciado falso se podía deducir cualquier cosa y uno de los que le escuchaba le preguntó:

"¿Quiere usted decir que si $2+2=5$ entonces usted es el Papa?"

Russell sin esperar ni un momento empezó con la demostración. 

"Si suponemos que $2+2=5$, entonces si restamos $3$ obtenemos que $1=2$, lo cual es equivalente a decir que $2=1$. Como el Papa y yo somos dos personas y $2=1$ entonces el Papa y yo somos uno, luego yo soy el Papa".

Conclusión: Nos damos cuenta que si nos detenemos un poco en la supuesta demostración que realizan podemos ver como hay algún momento en la que meten algún "gambazo", es decir, un error matemático grave que hace que la maravillosa demostración no sea más que una mentira enmascarada.

Si te interesa el tema en el siguiente enlace puedes ver otras 2 falacias matemáticas.

@antonio_arjona7

Descubriendo a los farsantes. Falacias matemáticas 1

En Internet podemos encontrar muchos artículos, imágenes, vídeos, etc  en los que se afirma demostrar cosas que todos sabemos que son falsas como que $1=2$, $2+2=5$, etc.

En esta entrada os enseñaremos algunos de ellos y se explicará los fallos que se comenten en la "demostración".

Veamos algunos ejemplos:
$1=2$
¡¡Estupendo!! Si esto fuera un examen ahora tengo muchas más posibilidades ya que con sacar un $2.5$ ya aprobaría con un $5$. Pero el que saque un $10$ ¡¡tiene un $20$!! Al único que no le afecta en nada este cambio es al que saque un $0$ porque el doble de $0$ es $0$.  


Pero si $1=2$ y multiplicamos por $2$ tenemos que $2=4$ y por tanto como $1=2$ y $2=4$ se tiene que $1=4$, si volvemos a multiplicar por $2$ llegamos a que $4=8$ y como $1=4$ y $4=8$ entonces $1=8$, si seguimos así $$1=16=32=64=128=\dots = 2^{+\infty}=+\infty$$ Así que sacando un simple $1$ en tu examen ¡¡puedes sacar una nota infinita!! ¿Para que queremos tanta nota si nos basta con un $10$ para obtener la máxima calificación? Vaya que si sacamos un $1$ podemos tener un $10$ y encima podemos derrochar infinitos puntos de nuestra nota. O sea que si le prestáramos nota a todos y cada uno de los alumnos del mundo para que todos tuvieran un $10$ aún así nos seguiría sobrando nota. Estamos un poco derrochadores ¿no os parece? 

Si esto fuera así todo sería maravilloso, pero ¿no es más fácil que no hayamos equivocado en el desarrollo a que nos diera el profesor la posibilidad de obtener un $10$ sacando únicamente un $1$? 

Pues sí, había un fallo en el desarrollo. Veámoslo:

Partimos de que $a=b$, multiplicamos ambos términos por $a$, posteriormente restamos a cada lado $b^2$. Después descomponemos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia, es decir, $a^2 -b^2 = (a-b)(a+b)$ y en el segundo término sacamos factor común $b$ y quedaría $ab-b^2=b(a-b)$. El siguiente paso consiste en dividir por el factor común en ambos lados $(a-b)$ y aquí es donde está el error porque no se puede dividir por $0$.

Nota: Como partimos del hecho de que $a=b$ entonces $a-b=0$ y al dividir por $a-b$ estaríamos dividiendo por $0$.

¿Por qué no se puede dividir por $0$? 

Si pudiéramos dividir por $0$ entonces existiría un número $a$ que fuese su inverso multiplicativo, es decir, $\exists \,a$ tal que $a \cdot 0 = 1$ lo cual es falso ya que sabemos que la multiplicación de cualquier número real por $0$ es $0$.


Nota: Si se cumpliera que $2=1$ restando $1$ a cada término tendríamos $1=0$ y multiplicando por cualquier número real $a$ no nulo obtendríamos que $a=0$ y por tanto todos los números reales serían $0$.


$0=1$


En la primera implicación se sustituye $0=1-1$. En la segunda aplicamos la propiedad asociativa y cambiamos los paréntesis de lugar. Sin embargo esta implicación no es correcta porque la propiedad asociativa de una serie infinita sólo se cumple cuando la serie es convergente o divergente, es decir, cuando la suma es un valor finito y único o cuando es infinita. O sea que si la suma se puede reordenar de forma que cambie su valor entonces no se cumple la propiedad asociativa. A estas series se les denomina series telescópicas. 

Para ver otras 3 falacias matemáticas entrad aquí.

@antonio_arjona7

sábado, 27 de septiembre de 2014

La leyenda de Sissa, el inventor del ajedrez

Cuenta la leyenda que el rey indio Shirham perdió a su hijo en una batalla. Sus súbditos intentaron animarle de todas las formas posibles, las cuales fueron vanas. Un día se presentó ante él el inventor del ajedrez Sissa con la idea de entretenerle y maravillarle con su juego. 

El juego constaba de un tablero 8 x 8 como el que aparece en la figura de la derecha. Como podemos ver consta de casillas blancas y negras que se alternan. Cada jugador posee 8 peones, 2 torres, 2 caballos, 2 alfiles, una reina y un rey, uno posee fichas de color blanco y el otro de color negro. El juego consiste en matar al rey del otro jugador antes de que maten al tuyo. Para saber más sobre el ajedrez pincha aquí.

                                 Piezas de ajedrez

El rey tras aprenderlo jugó y jugó. Mientras jugaba dejaba de pensar sobre la pérdida de su hijo. Como el rey estaba tan contento por el regalo quiso concederle a Sissa lo que más deseara.
Sissa le dijo que no pero ante la insistencia del rey aceptó. Le pidió un grano de trigo para la primera casilla, 2 para la segunda, 4 para la tercera, 8 para la cuarta, 16 para la quinta, y así sucesivamente hasta llegar a la casilla 64, es decir, para cada casilla el doble de la casilla anterior. Por último el rey debía entregarle todo ese grano. 

El rey accedió de inmediato pensando que lo que Sissa pedía lo podía cumplir con facilidad. Al fin y al cabo un grano tampoco es que valga mucho, y pensaría que la suma de todos no sería tan alta. 

El rey pidió que le calcularan cuantos granos de trigo eran exactamente. Recuerda que tenemos que sumar $$ 1+ 2 + 4 + 8 +16 + \dots + 2^{62} + 2^{63} $$ es decir $$ 2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{62} + 2^{63} $$ El resultado era $18.446.744.073.709.551.615$ granos de trigo. Es hasta difícil de leer este número, por lo menos te cansas si lo lees entero. Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo. 



Cuando el rey se enteró que en su reino no había suficiente trigo para pagarle decidió matarlo, ya que lo consideró como una ofensa hacia su persona.

¿Eres capaz de calcular dicha suma fácilmente sin tener que calcular cuanto vale cada sumando?

Veremos ahora como calcularlo. Vamos a probar que la suma es $$ 1+ 2 + 4 + \dots + 2^{63} = 2^{64}-1 $$

Denotaremos por $T_n$ a la cantidad de granos que hay hasta la casilla $n$. Probaremos por inducción que $T_n = 2^{n} -1$.
Para ello veremos que se cumple para $n=1$ $$T_1= 1 = 2^1 -1$$ Ahora supondremos cierto el resultado hasta $n$ y probaremos el resultado para $n+1$, es decir, supondremos que $T_{n}=2^0+2^1 + \dots + 2^{n-1}=2^{n} -1 $, este dato se llama Hipótesis de inducción, y probaremos que $T_{n+1}=2^0 + 2^1 + \dots + 2^{n} = 2^{n+1}-1$ para cualquier $n$ natural.
$$ T_{n+1} = 2^0+2^1+\dots +2^{n-1}+ 2^{n}=2^{n}-1+2^{n}= 2\cdot 2^n -1=2^{n+1}-1$$ y así vemos como queda demostrado la igualdad que queríamos.

Nota: La segunda igualdad se obtiene aplicando la Hipótesis de inducción. 

Así, en el caso particular de $n=64$. Tenemos que $$ T_{64} = 2^0 + 2^1 + \dots + \dots + 2^{63}= 2^{64}-1 $$

Como $2^{64}=18.446.744.073.709.551.616$, entonces $T_{64} = 18.446.744.073.709.551.615$. 

@antonio_arjona7

lunes, 15 de septiembre de 2014

Demostración de que Raíz de 2 es irracional

¿Qué significa que un números es irracional? Un número irracional es un número que no es racional, es decir, no se puede representar como fracción $\frac{p}{q}$ siendo $p,\,q$ números enteros y $q$ no nulo.

Para probar este resultado razonaremos por reducción al absurdo, pero ¿en que consiste este método? Este método consiste en partir de la hipótesis contraria y llegar a una contradicción que nos dirá que lo que hemos supuesto es falso. 

En este caso, lo contrario es que $\sqrt{2}$ es un número racional porque si un número no es irracional entonces debe ser racional, es decir, es de la forma $$ \sqrt{2}= \dfrac{p}{q}$$ donde $p, \, q \in \mathbb{Z}$  y  $q\neq 0$.

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\frac{p}{q}$ es una fracción irreducible, o lo que es lo mismo, que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es $1$. Si no fuera irreducible es porque es una fracción reducible y entonces podemos dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos números, creando así una fracción equivalente

Si $d=m.c.d(p,\,q)$ entonces $\exists \,p',\,q'\in\mathbb{Z}$ tal que $p=d\cdot p';\,\,\,\,\,q=d\cdot q'$, y así $$  \dfrac{p}{q}=\dfrac{d\cdot p'}{d \cdot q'} = \dfrac{p'}{q'}$$
Supongamos que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, elevando al cuadrado y operando tenemos: $$ 2=\dfrac{p^2}{q^2}\rightarrow 2\cdot q^2 = p^2   $$
Luego $p^2$ es par lo cual implica que $p$ es también par. Como $p$ es par entonces es de la forma $p= 2\cdot k$ para un cierto $k\in\mathbb{Z}$. Sustituyendo el valor de $p$ y operando obtenemos: $$ 2\cdot q^2 = p^2 \rightarrow 2 \cdot q^2 = 4 \cdot k^2 \rightarrow q^2 = 2 \cdot k^2$$ 
Luego $q^2$ es par y esto implica que $q$ es par. Como consecuencia hemos llegado a que $p$ y $q$ son pares lo cual es absurdo porque esto quiere decir que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es al menos $2$ y esto contradice a nuestra hipótesis $(m.c.d(p,\,q)=1)$. 

Conclusión: 2 es un número irracional.

Nota: Si quieres conocer los tipos de números que existen pincha aquí.


@antonio_arjona7

Realidad e imaginación para obtener todos los números.

Los números van apareciendo cuando realizamos algunas operaciones fundamentales en matemáticas.
Todos conocemos las cuatro operaciones básica, como son:
  1. Suma.
  2. Resta.
  3. Multiplicación.
  4. División.
La quinta es un poco menos conocida y es la raíz ((cuadrada, \,\,cúbica, \,\,etc)).
La sexta y última y más importante (la \,\, imaginación).


Cuando empezamos en la escuela nos enseñan que los números naturales son el 1, el 2, el 3, es decir los números positivos que empiezan en el 1 y se obtienen añadiendo 1 unidad. Así el conjunto de los naturales, el cual denotamos por $\mathbb{N}$ es: $$  \mathbb{N}=\{1,\,2,\,3,\,4,\,\dots\}  $$
Si sumamos 2 números naturales $n+m$ obtenemos otro número natural. Por ejemplo $2+5=7$. Pero ¿qué ocurre si restamos 2 números naturales? Si restamos 2 números naturales $n-m$ tenemos 3 casos.


  1. Si $n>m$ entonces existe otro número natural $k$ tal que $n=m+k$ y por tanto $n-m=k$ que es un número natural. Por ejemplo: $7-4=3$ ya que $7=4+3$.
  2. Si $n=m$ entonces la resta de ambos es el número 0. Por ejemplo: si tenemos un billete de 5€ y se nos cae en una alcantarilla entonces hemos perdido 5€ y al final nos hemos quedado sin ningún euro, es decir, nos quedan 0€.
  3. Si $n<m$ entonces existe otro número natural $k$ tal que $m=n+k$ y por tanto $n-m=-k$, es decir, la resta de ambos números es un número negativo. Por ejemplo: $7-9=-2$.
Al añadir la operación resta obtenemos el conjunto de los enteros, denotado por $\mathbb{Z}$, y formado por los números positivos (números \, naturales), los números negativos y el 0. Así, $$ \mathbb{Z}=\{\dots, \,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,\dots\}  $$ Luego el conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$.

La resta de 2 números enteros es también otro número entero. Por ejemplo: $-2 - 3 = -5$.

Al multiplicar 2 números naturales obtenemos otro número natural. Al multiplicar 2 números enteros obtenemos otro número entero. Si el signo de ambos números es el mismo entonces obtenemos un número positivo y si ambos números poseen signos distintos entonces tenemos un número negativo. 

Al dividir 2 números enteros obtenemos las fracciones. Por ejemplo $\frac{9}{6}$. $\frac{9}{6}$ es una fracción reducible, ya que se puede dividir el numerador y denominador por un mismo número, en este caso es el 3. Al dividir el numerador y el denominador por un mismo número, en nuestro caso el 3, llegamos a una fracción equivalente, así $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Cuando ya no podemos dividir el numerador y denominador por un mismo número llegamos a una fracción irreducible

El conjunto formado por todas las fracciones se llama conjunto de los números racionales, y se denota por $\mathbb{Q}$.  $$ \mathbb{Q}=\left\{\dfrac{m}{n}\,\,|\,\,m,\,n\in \mathbb{Z},\,\,n\not = 0\right\}  $$
El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales, ya que si el numerador es un múltiplo del denominador se tiene que $\frac{n\cdot m}{m}=n$. Luego $$ \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}  $$

Se denomina conjunto de los números irracionales al conjunto cuyos números que no pueden ser representados como fracciones. Al realizar raíces, generalmente obtenemos números racionales, salvo que sea la raíz $n$-ésima de un número que está elevado a $n$ ya que en este caso se cancelaría la raíz con la potencia y nos quedaría el número únicamente. Como ejemplo podemos citar: $\sqrt{2},\,\,\sqrt[4]{3}$. Se llama conjunto de los números reales y se denota por $\mathbb{R}$ al conjunto de los números racionales y los irracionales. Como todo número irracional es un número real que no es racional, el conjunto de los números irracionales se denota por $$\mathbb{I}=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$
Nota: Un número irracional es aquel que posee infinitas cifras decimales que no siguen un orden lógico. Por ejemplo el número $\pi$.

Si la raíz es impar, raíz cúbica o quinta, ... entonces podemos hacer la raíz tanto a números positivos como negativos. Sin embargo cuando la raíz es par, es decir, raíz cuadrada, cuarta, sexta, ... entonces solo la podemos realizar con números positivos. ¿Por qué? ¿Existe algún número que al elevarlo al cuadrado de -1? Es decir, existe algún $x$ real tal que $x^2 = -1$. La respuesta es que no porque un número real al elevarlo al cuadrado es positivo o cero pero nunca negativo.

Algunas ecuaciones como la mencionada anteriormente aparecen a menudo. Por ello el matemático Leonhard Euler inventó los números complejos, formados por una parte real y una parte imaginaria, y al conjunto de los números complejos se los denotó por $\mathbb{C}$ El número imaginario es $i=\sqrt{-1}$. $$ \mathbb{C}=\{a + b\cdot i\,\,|\,\, a,\,b\in \mathbb{R}\} $$
Como ejemplos de números complejos podemos mencionar $i,\,\,1+i,\,\,2$.

Todo número real es a la vez un número complejo, basta tomar $b=0$ para ver este hecho. Así llegamos a $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{C} $$
El conjunto de los números en los que $a=0$ se les llama imaginarios puros y se denota por Im.

¿Estaréis pensando entonces existen o no existen raíces negativas?
En los números reales la respuesta es que no, sin embargo en los números complejos sí.


Resumen:

Partimos del conjunto de los números naturales. Cuando añadimos la operación resta obtenemos el conjunto de los números enteros. Cuando añadimos la división aparece el conjunto de los números racionales y cuando introducimos las raíces aparecen los números irracionales. Por último cuando aceptamos la existencia de raíces negativas aparecen los números complejos.

Nota: Todos los números irracionales no aparecen al realizar una raíz de un número. Por ejemplo: el número $\pi$, el número de Euler $e$.



@antonio_arjona7

jueves, 11 de septiembre de 2014

¿Cuántos 1'os hay entre 0 y 99? ¿Y entre 0 y 9.999?

¿Cuántos 1'os hay entre 0 y 99? ¿Y entre 0 y 9.999?

¿Y si nos restringimos al conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$?


@antonio_arjona7

lunes, 8 de septiembre de 2014

Los pitagóricos y los números poligonales

Los pitagóricos fueron un grupo de religiosos, científicos y filósofos cuyo líder era Pitágoras de Samos. Era una secta griega formada por astrónomos, matemáticos, filósofos, etc que apareció en el siglo V a. C. Los pitagóricos representaban los números mediante puntos y los clasificaban según las formas de las distribuciones de los puntos.

Los números $1,\,\,3,\,\,6,\,\,10,\,\,15,\,\,21,\,\,28,\,\, ...$ reciben el nombre de números triangulares porque al representar estos números con puntos pueden distribuirse en forma de un triángulo equilátero.

 Figura 1: Los números triangulares

Como podemos observar los números triangulares se obtienen al sumar $n$ términos consecutivos empezando a partir del 1, por ejemplo:

1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
...

Por inducción se prueba que $$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2} \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$$
Por tanto los números triangulares son de la forma   $\dfrac{n \cdot (n+1)}{2}\quad \forall \,n\in \mathbb{N}$.

Para los pitagóricos el cuarto número triangular ((el\,\, 10)) era un número sagrado, la Década, la totalidad del universo, ya que es la suma de la Unidad, la Díada, la Tríada y el Cuaternario ((tierra,\,\,aire,\,\,fuego\,\,y \,\,agua)), y además, cada lado posee cuatro puntos. La tetractys era el símbolo sagrado de los pitagóricos. Cada fila representa las dimensiones de la experiencia.
                                
  1. Punto.       .
  2. Recta.      ..
  3. Plano.     ...
  4. Sólido.  ....

                                          Figura 2: Tetractys

Puedes leer sobre la Santa Tetractys Pitagórica aquí.

Los números $1,\,\,4,\,\,9,\,\,16,\,\,25,\,\,36,\,\,49,\,\,...$ se llaman números cuadrados porque sus puntos se pueden distribuir para crear un cuadrado, como se puede observar en la figura 3.

 Figura 3: Números cuadrados

Se puede observar que los números cuadrados se pueden escribir como suma de números impares empezando por el 1. Por ejemplo:

1 = 1
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
...

Por inducción se prueba que $$ n^2 = 1 + 3 + \dots + (2n -1)  \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$$ Los pitagóricos sabían de esto ya que lo tenían en cuenta a la hora de su representación. Este hecho se puede ver en la figura 4.

Figura 4: Representación de los números cuadrados en la forma pitagórica

Los puntos de la fila superior y columna derecha los llamaban gnomon. Luego el primer gnomon es el 1, el segundo el 3, el tercer gnomon 5, etc. Gnomon significa lo que queda de un paralelogramo al cortar otro más pequeño de una de sus esquinas.

Se puede ver además que un número cuadrado se puede descomponer como suma de 2 números triangulares consecutivos. Para ver esto hacemos 2 trucos:
  1. Multiplicar y dividir $n^2$ por $2$.
  2. Sumar y restar $n$ en el numerador. 
Por último sacamos $n$ factor común y descomponemos la fracción en suma de otras 2 fracciones. Así, llegamos a que $$  n^2 = \dfrac{(n-1)\cdot n}{2}+\dfrac{n\cdot (n+1)}{2}  \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$$

Los números $1,\,\,5,\,\,12,\,\,22,\,\,35,\,\,51,\,\,70,\,\,...$ se llaman números pentagonales porque sus puntos se pueden distribuir formando un pentágono.

Figura 5: Números pentagonales

1 = 1
5 = 1 + 4
12 = 1 + 4 + 7
22 = 1 + 4 + 7 + 10
35 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13
...

Por inducción se prueba que todo número pentagonal es de la forma $$1 + 4 + \dots + 3n - 2 =  \dfrac{3n^2 - n}{2} \quad \forall\,\,n\in\mathbb{N}  $$

Así podríamos seguir indefinidamente, números hexagonales, números heptagonales, etc. En general un número poligonal es un número natural que puede distribuirse formando un polígono regular. Hemos visto los primeros casos y en cada caso hemos visto como se crean a partir un término general.  

Números triangulares     $\dfrac{n\cdot (n+1)}{2}\quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$

Números cuadrados        $\dfrac{n\cdot (2n)}{2}=n^2 \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$

Números pentagonales   $\dfrac{n\cdot (3n-1)}{2} \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$

Por inducción todo número m-agonal viene determinado por la siguiente fórmula  $$ 1+(m-1) + \dots + (m-2)\cdot n - (m-1) =  \dfrac{n\cdot ((m-2)\cdot n - (m-4))}{2} $$ para todo $m\geq 3 $ y para todo $n\in \mathbb{N}$. Para representarlos tomamos $m-1$ rectas, creamos polígonos de $m$ lados, y nos fijamos en el caso de los números pentagonales para ver como se hace el método ya que el caso general es análogo.

Si os ha gustado este tema os recomiendo que leáis sobre las ternas pitagóricas, es decir, tripletas de números que cumplen el Teorema de Pitágoras, como por ejemplo $\{3,\,4,\,5\}$ que cumplen que $3^2 + 4^2 = 5^2$.


@antonio_arjona7




miércoles, 3 de septiembre de 2014

El profesor adivino. Matemáticas con Scratch

¿No te ha parecido nunca que tu profesor de matemáticas era un adivino? ¿Qué hay detrás de esa mente?
Hoy sí vas a poder ver en acción a un profesor adivino. Para verlo debes hacer clic en el siguiente enlace
Habla con el profesor adivino

El profesor te pide que pienses un número. Posteriormente debes multiplicarlo por 3. ¿Es par ese número?

  1. Si la respuesta es que sí pasamos al siguiente paso.
  2. Si la respuesta es que no entonces debemos sumarle 1 a dicho número.
Después debemos dividirlo entre 2 y posteriormente multiplicar el resultado por 3. A este número tenemos que restarle 9 tantas veces como se pueda. Por último el profesor te pide que le digas cuantas veces has restado 9 a dicho número. Si quieres que el profesor te lo adivine no pierdas más el tiempo y entra en El profesor adivino.

Como acertijo os dejo la siguiente pregunta. ¿Por qué el profesor es adivina tu número? 

                                                                               @antonio_arjona7

martes, 2 de septiembre de 2014

¿Seré capaz de adivinarte un número? Matemáticas con scratch

En esta entrada os dejo un pequeño programita que he hecho con Scratch , si es que se puede llamar así porque al ser el primero pues seguramente no me ha salido muy bien. Bueno la intención es lo que cuenta. Scratch ha sido mi nuevo descubrimiento una forma sencilla de hacer matemáticas, juegos, animaciones, etc.

En el siguiente enlace http://scratch.mit.edu/projects/26170902/  os presento un truco o curiosidad matemáticas que ocurre con número de 3 cifras no capicúas. Puedes entrar y ver  este enlace con animaciones y dibujos o puedes leer esta entrada.

Nota: Si vais a ver el programita en el enlace os aconsejo que leáis las instrucciones primero.

Pero ¿Qué es un número capicúa? Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo: 434 sí es un número capicúa, 321 sin embargo no lo es. Como los ejemplos que hemos dado son de 3 cifras, basta ver que la primera y la tercera cifra son iguales. En el primer caso si se cumple pero en el segundo no.

¿En qué consiste el acertijo?

El acertijo consiste en pensar un número de 3 cifras no capicúa, posteriormente debemos invertir el número, es decir, leerlo de derecha a izquierda. Si hemos pensado en el número


Al invertir el orden de sus cifras tenemos el 321. 

Al mayor de los 2 números le restamos el más pequeño y obtenemos un nuevo número. 
  1. Si este número es de 3 cifras --> se queda igual. 
  2. Si es de 2 cifras -->  le añadimos un 0 a la izquierda.
321
-123  
-------
198

Ahora volvemos a invertir el orden de las cifras y en este caso sumamos estos 2 números.

198 ---> 891
  
  198
+891
-------
1089

¿Se parece el número que has obtenido con el que nos ha salido? ¿Es el mismo?

Os dejo como acertijo que intentéis demostrar porqué ocurre esto. Es bastante sencillo y sale fácil. Animo y espero que os haya gustado.

PD: Más abajo tenemos un pequeño programita en el que un gato nos plantea dicho acertijo.

                                                                                                                      @antonio_arjona7