Buscar en este blog

martes, 11 de noviembre de 2014

El Último teorema de Fermat y su aparición en los Simpsons

¿Has visto alguna vez la serie de los Simpsons? En este post vamos a ver como detrás de estos graciosos dibujos se esconden a veces grandes resultados matemáticos, en este caso hablaremos sobre El Último teorema de Fermat. Alguno estará pensando y quien fue ese tal Fermat. 

Fermat fue un jurista y matemático francés del siglo XVII $(1601-1665)$. Está considerado junto a Descartes como uno de los mejores matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Descubrió junto con Pascal la Teoría de Probabilidades, la geometría analítica junto con Descartes y el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz. Pero en realidad es más conocido por sus aportaciones a la Teoría de números, esto es debido a que tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, y más concretamente por el Último Teorema de Fermat.




Otras aportaciones:

 
Números primos de Fermat
Un número se dice de Fermat es un número natural de la forma $$ F_n = 2^{2^n} +1 \qquad n\in\mathbb{N}$$ Fermat conjeturó que dichos números eran primos todos. Sin embargo, Euler se dio cuenta que dicha afirmación era falsa y encontró un contraejemplo. $$ F_5 = 2^{2^5} +1 = 2^{32}=4294967297= 641\, \cdot \, 6700417$$
Teorema de Fermat para la suma de cuadrados
Un número primo $p$ se puede expresar como suma de $2$ números cuadrados si y sólo si $p=2$ ó $p \equiv 1 \mod 4$. Podemos pensar que $p$ es equivalente a la hora $1$ en un reloj de cuatro horas, pensando que parte desde la hora $0$, por ejemplo, las $5\equiv 1 \mod 4$ porque $5 =  4 + 1$, o lo que es lo mismo una vuelta completa del reloj más una hora. 
 
Pequeño teorema de Fermat
Si $p$ es un número primo, entonces $\forall \,a\in\mathbb{N}$ tal que m.c.d$\{a,\,p\}=1$ se cumple que $$ a^{p-1}\equiv 1 \mod p $$ Nota: m.c.d significa máximo común divisor. Decir que el m.c.d$\{a,\,p\}=1$ es equivalente a decir que son coprimos o que no tienen divisores comunes.

Dicho con otras palabras, si $p$ es un número primo de forma que es coprimo con otro número natural $a$ entonces se cumple que el resto de la división de $a^{p-1}$ entre p es 1.

No podemos hablar sobre el Último teorema de Fermat sin mencionar el Teorema de Pitágoras, el teorema más famoso donde los haya, porque ¿quién no ha oído hablar sobre el Teorema de Pitágoras? 

Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.


Por ejemplo: $3^2 + 4^2 = 5^2$ o $5^2 + 12^2 = 13^2$.
Del Teorema de Pitágoras nos puede surgir una pregunta. ¿Qué ocurre cuando cambiamos los exponentes $(2)$ por otro número mayor? Es decir, ¿Existen $3$ números naturales $a,\,b,\,c$ tal que se cumple que $a^3 + b^3 = c^3$? o porqué no pensarlo en general, ¿existen $3$ números naturales $a,\,b,\,c$ de forma que se satisfaga que $a^n+b^n=c^n$, siendo $n>2$? Para responder a esta pregunta aparece el Último teorema de Fermat.

Último teorema de Fermat
Fermat conjeturó que no existen $3$ números enteros positivos $x\, y,\,z$ de forma que se satisfaga la ecuación $x^n + y^n = z^n$ para cualquier $n>2$. 

En palabras de Fermat $($bueno esto es una traducción$)$.

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.

Según Fermat, él tenía una demostración, pero ¿por qué no la escribió en otro papel? ¿Tan caro estaba el papel en esa época como para no coger otro y escribirla? Puede ser que tuviera una idea en la cabeza y lo mismo no fuera realmente la demostración. Bueno ya todo son conjeturas porque Fermat no está aquí para contárnoslo. 

Lo que sí es verdad es que tan fácil no debía de ser la demostración para que tardaran unos $350$ años en llegar a ella. Muchos matemáticos de gran prestigio han intentado realizarla en esos $350$ años, todos sin éxito. La demostración de dicho teorema se debe al matemático Andrew Wiles en $1995$.  

¿Estaréis pensando y esto que tiene que ver con los Simpsons? 

Posteriormente veremos $2$ fotografías de los Simpsons en las que aparecen números que aparentemente no cumplen el Último teorema de Fermat. Pero porqué han puesto esto. ¿Es que acaso han encontrado algún ejemplo que lo contradice? Y si es así ¿cómo puede ser que ningún matemático encontrara errores en la demostración?

Homer en la 3ª dimensión
$$ ¿1782^{12} + 1841^{12}=1922^{12}?$$
Como no somos capaces de calcular estos números de cabeza entonces utilizaremos la calculadora para verlo. 

$1782^{12}+ 1841^{12}=2.541210259 \cdot 10^{39}$  
$ 1922^{12} = 2.541210259 \cdot 10^{39}$ 

Aparentemente puede parecer que es cierta la igualdad ya que los números que aparecen en la calculadora coinciden. Sin embargo, si usamos una calculadora más potente $($cuyo resultado sea más preciso, o sea con más decimales$)$ nos daremos cuenta que en realidad la igualdad es falsa. Luego no hemos encontrado un contraejemplo para dicho teorema.

$$ 1782^{12} + 1841^{12}= 2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657$$
$$ 1922^{12} = 2.541.210.259.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616 $$

Podemos observar que coinciden en los primeros $9$ dígitos. ¿Cómo es posible si en la calculadora poseian $10$ dígitos iguales? La clave está en el redondeo.

Homer frente a una pizarra
$$ ¿3987^{12}+4365^{12}=4472^{12}?$$

Veamos que ocurre lo mismo con esta igualdad. Con calculadora el resultado es:

$3987^{12}+4365^{12}= 6.397665635 \cdot 10^{43}$
$ 4472^{12} = 6.397665635 \cdot 10^{43} $

¿Será que este ejemplo si es correcto? Usemos el ordenador para calcular todas las cifras del número:

$3987^{12} + 4365^{12} = 63.976.656.349.698.612.616.236.230.953.154.487.896.987.106 $
$4472^{12}= 63.976.656.348.486.725.806.862.358.322.168.575.784.124.416$

En este caso podemos ver que los números sólo coinciden en las primeras $10$ cifras. Como la cifra undécima de ambas es mayor que $5$ se redondea la décima cifra en ambos a la siguiente unidad. Luego en la calculadora en lugar de aparecer un $4$ aparece un $5$.

Conclusión:
  1. Las fotografías anteriores aunque sean falsas son bastante curiosas y ese el hecho por el que aparecen en la serie, como simple curiosidad.
  2. Los resultados matemáticos cuya demostración se conoce son resultados verdaderos. Muchas veces intentamos demostrar lo contrario de cosas que ya han sido demostradas, sin saberlo o por intentar demostrar que ese resultado es erróneo, por ejemplo, buscando contraejemplos como en este caso. En esta entrada queremos dejar claro que ha veces los cálculos que hacemos no son los precisos y que cualquier error pequeño puede ser en realidad un error bastante grande en el fondo. 
  3. No debemos creernos todo lo que aparece delante de nuestros ojos, tenemos que ser cautos y contrastar la información.

Opinión personal: No debemos juzgar a Fermat solo por sus fallos porque en aquellos tiempos no poseían los maravillosos ordenadores en los que hoy podemos encontrar información y hacer cálculos. Creo que vale más todas las aportaciones que hizo a las matemáticas descubriendo la Teoría de probabilidades, la geometría analítica, la teoría de números y el cálculo diferencial. Y bueno lo de no aportar la demostración pues queda como una anécdota, no tenemos que darle tanta importancia. Lo importante es que ya sí está demostrado este resultado.

Referencias: 
  1. Gaussianos
  2. Wikipedia
  3. Imágenes de catedu
Otras entradas que poseen demostraciones erróneas y en las que se da una explicación de donde se encuentra el error son:


  1. Falacias matemáticas 1
  2. Falacias matemáticas 2

Si lo que te interesan son los problemas no resueltos no dejes de ver la conjetura de Goldbach.


@antonio_arjona7

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada