En esta entrada os enseñaremos algunos de ellos y se explicará los fallos que se comenten en la "demostración".
Veamos algunos ejemplos:
$1=2$
¡¡Estupendo!! Si esto fuera un examen ahora tengo muchas más posibilidades ya que con sacar un $2.5$ ya aprobaría con un $5$. Pero el que saque un $10$ ¡¡tiene un $20$!! Al único que no le afecta en nada este cambio es al que saque un $0$ porque el doble de $0$ es $0$.
Pero si $1=2$ y multiplicamos por $2$ tenemos que $2=4$ y por tanto como $1=2$ y $2=4$ se tiene que $1=4$, si volvemos a multiplicar por $2$ llegamos a que $4=8$ y como $1=4$ y $4=8$ entonces $1=8$, si seguimos así $$1=16=32=64=128=\dots = 2^{+\infty}=+\infty$$ Así que sacando un simple $1$ en tu examen ¡¡puedes sacar una nota infinita!! ¿Para que queremos tanta nota si nos basta con un $10$ para obtener la máxima calificación? Vaya que si sacamos un $1$ podemos tener un $10$ y encima podemos derrochar infinitos puntos de nuestra nota. O sea que si le prestáramos nota a todos y cada uno de los alumnos del mundo para que todos tuvieran un $10$ aún así nos seguiría sobrando nota. Estamos un poco derrochadores ¿no os parece?
Si esto fuera así todo sería maravilloso, pero ¿no es más fácil que no hayamos equivocado en el desarrollo a que nos diera el profesor la posibilidad de obtener un $10$ sacando únicamente un $1$?
Pues sí, había un fallo en el desarrollo. Veámoslo:
Partimos de que $a=b$, multiplicamos ambos términos por $a$, posteriormente restamos a cada lado $b^2$. Después descomponemos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia, es decir, $a^2 -b^2 = (a-b)(a+b)$ y en el segundo término sacamos factor común $b$ y quedaría $ab-b^2=b(a-b)$. El siguiente paso consiste en dividir por el factor común en ambos lados $(a-b)$ y aquí es donde está el error porque no se puede dividir por $0$.
Nota: Como partimos del hecho de que $a=b$ entonces $a-b=0$ y al dividir por $a-b$ estaríamos dividiendo por $0$.
¿Por qué no se puede dividir por $0$?
Si pudiéramos dividir por $0$ entonces existiría un número $a$ que fuese su inverso multiplicativo, es decir, $\exists \,a$ tal que $a \cdot 0 = 1$ lo cual es falso ya que sabemos que la multiplicación de cualquier número real por $0$ es $0$.
Nota: Si se cumpliera que $2=1$ restando $1$ a cada término tendríamos $1=0$ y multiplicando por cualquier número real $a$ no nulo obtendríamos que $a=0$ y por tanto todos los números reales serían $0$.
En la primera implicación se sustituye $0=1-1$. En la segunda aplicamos la propiedad asociativa y cambiamos los paréntesis de lugar. Sin embargo esta implicación no es correcta porque la propiedad asociativa de una serie infinita sólo se cumple cuando la serie es convergente o divergente, es decir, cuando la suma es un valor finito y único o cuando es infinita. O sea que si la suma se puede reordenar de forma que cambie su valor entonces no se cumple la propiedad asociativa. A estas series se les denomina series telescópicas.
Para ver otras 3 falacias matemáticas entrad aquí.
Partimos de que $a=b$, multiplicamos ambos términos por $a$, posteriormente restamos a cada lado $b^2$. Después descomponemos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia, es decir, $a^2 -b^2 = (a-b)(a+b)$ y en el segundo término sacamos factor común $b$ y quedaría $ab-b^2=b(a-b)$. El siguiente paso consiste en dividir por el factor común en ambos lados $(a-b)$ y aquí es donde está el error porque no se puede dividir por $0$.
Nota: Como partimos del hecho de que $a=b$ entonces $a-b=0$ y al dividir por $a-b$ estaríamos dividiendo por $0$.
¿Por qué no se puede dividir por $0$?
Si pudiéramos dividir por $0$ entonces existiría un número $a$ que fuese su inverso multiplicativo, es decir, $\exists \,a$ tal que $a \cdot 0 = 1$ lo cual es falso ya que sabemos que la multiplicación de cualquier número real por $0$ es $0$.
Nota: Si se cumpliera que $2=1$ restando $1$ a cada término tendríamos $1=0$ y multiplicando por cualquier número real $a$ no nulo obtendríamos que $a=0$ y por tanto todos los números reales serían $0$.
$0=1$
@antonio_arjona7
Está muy bien, enhorabuena Antonio. Solo una cosa, en la segunda demostración falsa, creo que el problema está antes de lo que dices, en la segunda implicación, en la aplicación de la propiedad asociativa, ya que solo es aplicable a un número finito de elementos.
ResponderEliminarEfectivamente Mario. El error está en la segunda. Es cierto que la propiedad asociativa no se cumple en este caso, pero no solo es aplicable a un número finito de términos. Existen series infinitas que sí se pueden reordenar sus términos. En el texto he rectificado el error y explico que tipos de series infinitas son las que cumplen la propiedad asociativa y cuales no.
EliminarMuchas gracias por tu comentario y me alegro que te haya gustado.